江苏省宿迁市2016-2017学年高二上学期期末考试数学试题

宿迁市2016~2017学年度第一学期高二期末考试

数 学

（考试时间120分钟，试卷满分160分)

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差22

11()n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．

置上．．． 1. 写出命题“若22a b >，则||||a b >”的逆命题 ▲ . 2. 抛物线24y x =的焦点坐标是 ▲ .

3. 如图所示的伪代码，如果输入x 的值为5，则输出的结果y 为 ▲ .

4. 如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为

14

， 则阴影部分的面积为 ▲ .

5. 如图是一个算法流程图，则输出的结果S 为 ▲ .

6．某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100,150]的1000名 学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩 在[120，130)内的学生共有 ▲ 人．

7. 设函数1()ln

f x x x

=+

，则函数()y f x =的单调递增区间是 ▲

.

8. 如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，()f x '表示函数()f x 的导函数， 则(3)(3)f f '+的值为 ▲ . 9. 已知AB 是圆2

2

:420C x y x y a +-++=的一条弦，(1,0)M 是弦AB 的中点， 若3AB =，则实数a 的值是 ▲ .

10.如图，椭圆()22

2210x y a b a b

=>>+的上、下顶点分别为

（第5题） （第3题） （第4题） a 分)

（第6题）

（第8题）

)

2B ,1B ,左、右顶点分别为1A ,2A ，若线段22A B 的垂直

平分线恰好经过1B ，则椭圆的离心率是 ▲ . 11.若函数3

21()33

f x x x x a =

---有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12.

(2)a x =-有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ . 13.在平面直角坐标xOy 中，已知(1,0)A ,(4,0)B ，圆22()1x a y -+=上存在唯一的点P 满足

1

2

PA PB =，则实数a 的取值集合是 ▲ . 14. 设a ＞0，函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 2∈[1

e ，1]，存在11[,1]e x ∈，

f (x 1)≥

g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）

如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a （38a ≤≤且a ∈N ）表示.

（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a 的值及乙同学历史成绩的方差； （2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率.

16.（本小题满分14分）

已知:p 2280x x +-<，:q (1)(1)0(0)x m x m m -+-->≤.

（1）使p 成立的实数x 的取值集合记为A ，q 成立的实数x 的取值集合记为B ，

当2m =时，求A B ；

（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.

17. （本小题满分14分）

已知圆()222:0O x y a a +=>，点()()0,4,22A B ，

. （1）若线段AB 的中垂线与圆O 相切，求实数a 的值；

（2）过直线AB 上的点P 引圆O 的两条切线，切点为,M N ，若60MPN ∠= ， 则称点P 为“好点”. 若直线AB 上有且只有两个“好点”，求实数a 的取值范围.

8 9

5 4 3 0

8

6 8 甲

乙 2 a 8

（第15题）

（第18题） 18. （本小题满分16分）

某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r ，高为h ，体积为16π立方米，且2h r ≥.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a 千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）问r 为多少时，该容器建造总费用最小？

19.（本小题满分16分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，

上、下顶点分别为B 2，B 1，22B OF ∆是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l 过A 2且垂直于x 轴，D 为l 上异于A 2的一动点，直线A 1D 交椭圆于点C . （1）求椭圆的标准方程；

（2）若A 1C=2CD ，求直线OD 的方程；

（3）求证：OC OD ⋅

为定值.

20.（本小题满分16分）

已知函数()e x f x =，2()2()()g x x x af x a =-+-∈R ，12,x x 是两个任意实数且12x x ≠. （1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；

（2）若函数()g x 在R 上是增函数，求a 的取值范围；

（3）求证：121212

()()

()2x x f x f x f x x +-<-.

数学参与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．

置上．．

． 1.若||||a b >，则22a b >； 2. (1,0)； 3. 23； 4. 2； 5. 22；

6．300； 7. 1+∞（，）； 8.

7

3； 9. 34

； 10.

11. 5

(9,)

3-； 12. (； 13. {}3,1,1,3--； 14. )+∞； 二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）因为乙同学历史平均成绩是92分，所以

868290925

a

+++++=，

解得6a =. ……………………3分 此时乙同学的历史成绩的方差为

222221[(9286)(9288)(9292)(9692)(92)]5-+-+-+-+-=

104

5

；………6分 （2）甲同学的历史平均成绩为

80939495

925

++++=分， …………………8分

若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩， 则

868290925

a

+++++≤，得6a ≤. ……………………10分

因为38a ≤≤,所以36a ≤≤且a ∈N ，

记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件A , 则事件A 包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个， 所以事件A 的概率42

()=

63

P A =. ……………………13分 答：（1）a 的值为6，乙同学历史成绩的方差为

104

5

； （2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为

2

3

.……14分 16.（1）因为2280x x +-<，所以42x -<<，则A {}|42x x =-<<；……………2分

因为(1)(1)0(0)x m x m m -+-->≤，所以11m x m -+≤≤，

所以{}|11B x m x m =-+≤≤， ……………4分 当2m =时，{}|13B x x =-≤≤， ……………6分 所以{}|12A B x x -< ≤=. ……………7分

（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以p q ⇒且q p ¿， ……………10分

则1412m m --⎧⎨+⎩

≤≥， ……………12分

解得m ≥5，

所以当5m ≥时，q 是p 的必要不充分条件. ……………14分

17.（1）由()()0,4,22A B ，得AB 的中点坐标为()1,3，直线AB 的斜率为1-，……..2分

所以AB 的中垂线方程为()311y x -=⨯-，即20x y -+=， …………..4分 又因为AB 的中垂线与圆O 相切，

所以圆心O 到AB

a =，即a = ……………………6分

（2）连接,PO OM ，

在POM ∆Rt 中，30OPM OM a ∠== ，

所以22PO OM a ==，……………………………………………………….8分 所以点P 的轨迹是以O 为圆心，2a 为半径的圆，记为圆O '， 则圆O '的方程为2224x y a +=，……………………………………………..10分

又因为直线AB 的方程为40x y +-=，且直线AB 上有且只有两个“好点”， 则直线AB 与圆O '相交，所以圆心O 到直线AB 2

a <，

故实数a 的取值范围是)+∞. …………………….14分

18.（1）设容器的容积为V ,

由题意知2=16V r h ππ=，故216

h r

=

，………………………………..2分 因为2h r ≥，所以02r <≤，……………………………………………….4分 故建造费用22

2

1623262y rh r a r r a r ππππ=⨯+=⨯+, 即2962,02y ar r r

π

π=+

<≤. ………………………………………….6分

（2）由（1）得()2

96'402y ar r r π

π=-

<≤， 令'0y =

得r =, ……..8分 ①

当02<即3a >时,

若r ⎛∈ ⎝

，则'0y <，函数单调递减；

若r ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则'0y >，函数单调递增；

所以r =时，函数取得极小值，也是最小值. ……………….....12分 ②

当2即03a <≤时， 因为(]0,2r ∈，则'0y <，函数单调递减；

则2r =时，函数取得最小值. ………………………………………...14分 综上所述： 若3a >

，当r = 若03a <≤，当2r =时，建造总费用最少. ………………..16分

19.（1）因为22B OF ∆是斜边长为2的等腰直角三角形，

所以2,a b c ==，

又因为222a b c =+，所以22b =，

所以椭圆标准方程为22

142

x y +=. ………4分

（2）设11(,)C x y ，2(2,)D y ，

因为AC=2CD ，所以2AC CD =

,

所以有11121((2),0)2(2,)x y x y y ---=--， ……………6分 所以111212422()

x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得123x =，代入椭圆方程得143y =±，

则当14

3

y =

时，22y =，(2,2)D ,直线OD 的方程为y =x ； ……………8分

当143

y =- 时22y =-，(2,2)D -,直线OD 的方程为y x =-.……………10分 （3）（解法一）设011(2,),(,)D y C x y ，

则直线A 1D ： 0024y y x y --=--，即00142

y y x y =+， 代入椭圆22

142

x y +=得 222200011(1)40822

y x y x y +++-=. ………………………12分 因为201204(8)(2)8y x y --=+，所以201202(8)8

y x y -=-+，012088y y y =+， 则20022002(8)8(,)88

y y OC y y -=-++ ， …………………………14分 所以2220002220004(8)84324888

y y y OC OD y y y -+⋅=-+==+++ （定值）. …16分

（解法二）由已知直线A 1D 斜率存在，设A 1D 的方程为(2)y k x =+，

设00(,)C x y 由22(2)142

y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(2)4x k x ++=， 即2222(12)8840k x k x k +++-=， ……12分 则20284(2)12k x k -⋅-=+,2

022412k x k

-∴=+,02412k y k =+, 则222

244(,)1212k k C k k -++， 故222

244(,)1212k k OC k k -=++ . ………………14分 由(2)y k x =+令x =2,得y =4k ,则(2,4)F k ，故(2,4)OF k =

所以，OC OD ⋅ =2222442441212k k k k k

-⋅+⋅=++（定值）………………16分 20.（1）因为()e x f x '=， ………………1分

则切线的斜率为(0)1f '=，切点为(0,1)，

所以函数()f x 的图象在0x =处切线方程为1y x =+； ……………3分

（2）由2()2e x g x x x a =-+-得()22e x g x x a '=-+-，

因为函数()g x 在实数集上是增函数，

所以()22e 0x g x x a '=-+-≥恒成立， ………………5分 则22e x

x a -+≤恒成立， 令22()e x

x h x -+=， 由2(2)()=0e x x h x -'=

得2x =， ………………7分 当(,2)x ∈-∞时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>，函数()h x 递增； 所以当2x =时，函数min 22()(2)e h x h -==

， 故实数a 的取值范围是2

2(,]e -∞-. ………………9分 （3）要证明121212()()()2x x f x f x f x x +-<-，即证明1212

212

e e e x x x x x x +-<-， 只需证明12

12212e 1e x x x x x x ---<-，不妨设12x x >，122

x x t -=， 只需证明2e 1e 2t t

t -<（0t >）， 只需证明22e e 1t t t <-对0t >恒成立， ………………11分 设2()e 2e 1t t h t t =--，

则2()(e e )2e 2e 2e 2e 2e =2e (e 1)t t t t t t t t t h t t t t ''=⋅--=----， 设()e 1t t t ϕ=--，当0t >时()e 10t t ϕ'=->恒成立， 则()t ϕ递增，()(0)0t ϕϕ>=，即()0h t '>， ………………13分 则()0h t '>，故函数()h t 递增，有()(0)0h t h >=恒成立， 即22e e 1t t t <-对0t >恒成立， 所以1212212e 1e

x x x x x x ---<-，即121212()()()2x x f x f x f x x +-<-. ………………16分