2007年高考试题——山东卷数学文科含答案

（山东卷）文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．

1．复数的实部是（    ）

A．            B．            C．3            D． 

2．已知集合，则（    ）

A．        B．            C．            D． 

3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ）

A．①②            B．①③            C．①④            D．②④

4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向右平移个单位            B．向右平移个单位

C．向左平移个单位            D．向左平移个单位

5．已知向量，若与垂直，则（    ）

A．            B．             C．            D．4

6．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（    ）

A．    B．        C．    D． 

7．命题“对任意的”的否定是（    ）

A．不存在        B．存在

C．存在            D．对任意的

8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介

于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六

组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二

组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，

成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述

分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒

的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于

15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方

图中可以分析出和分别为（    ）

A．        B．        

C．        D． 

9．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ）

A．        B．        C．        D． 

10．阅读右边的程序框，若输入的是100，则输出的

变量和的值依次是（    ）

A．2550，2500    

B．2550，2550    

C．2500，2500    

D．2500，2550

11．设函数与的图象的交点为，

则所在的区间是（    ）

A．        B．        C．        D． 

12．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（    ）

A．3            B．4            C．2和5        D．3和4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．

13．设函数，则        ．

14．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为         ．

15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是          ．

16．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是        ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求．

18．（本小题满分12分）

    设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）

    本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

20．（本小题满分12分）

    如图，在直四棱柱中，

已知，．

（1）求证：；

（2）设是上一点，试确定的位置，使平面

，并说明理由．

21．（本小题满分12分）

    设函数，其中．

    证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．

22．（本小题满分14分）

    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以    为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

（山东文卷）答案

一、选择题

1．B    2．C    3．D    4．A    5．C    6．B

7．C    8．A    9．B    10．A    11．B    12．D

二、填空题

13．    14．    15．        16． 

三、解答题

17．解：（1）

    又

    解得．

    ，是锐角．

    ．

（2），

    ，

    ．

    又

    ．

    ．

    ．

    ．

18．解：（1）由已知得

    解得．

    设数列的公比为，由，可得．

又，可知，

即，

解得．

由题意得．

．

故数列的通项为．

（2）由于

    由（1）得

    又

    是等差数列．

    故．

19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得

    目标函数为．

    二元一次不等式组等价于

    作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

    如图：

    作直线，

    即．

    平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．    

    联立解得．

    点的坐标为．

    （元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

20．（1）证明：在直四棱柱中，

    连结，

    ，

    四边形是正方形．

    ．

    又，，

    平面，

      平面，

    ．

    平面，

    且，

    平面，

    又平面，

    ．

（2）连结，连结，

    设，

    ，连结，

    平面平面，

    要使平面，

    须使，

    又是的中点．

    是的中点．

    又易知，

    ．

    即是的中点．

    综上所述，当是的中点时，可使平面．

21．证明：因为，所以的定义域为．

    ．

    当时，如果在上单调递增；

                如果在上单调递减．

    所以当，函数没有极值点．

    当时，

    令，

    将（舍去），，

    当时，随的变化情况如下表：

    函数有且只有一个极小值点，极小值为．

    当时，随的变化情况如下表：

函数有且只有一个极大值点，极大值为．

    综上所述，

    当时，函数没有极值点；

    当时，

    若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．

    若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．

22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，

    由已知得：，

    椭圆的标准方程为．

    （2）设．

    联立

    得    ，则

    又．

    因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

    ，即．

    ．

    ．

    ．

    解得：，且均满足．

    当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

    当时，的方程为，直线过定点．

    所以，直线过定点，定点坐标为．