复合函数单调性、奇偶性6

1、复合函数的定义

函数为由外函数和内函数复合而成的函数称为复合函数。 

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。

⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。

⑶与表示不同的复合函数。

①　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：

已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。

②　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：

若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。

2．求有关复合函数的解析式

已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。

换元法：就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。

3.求复合函数的单调性

“同增异减”法则

4.复合函数的奇偶性

一偶则偶，同奇则奇

5．典型例题讲解

例1．设函数，求．

例2．⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；

⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；

⑶已知定义域是，求定义域．

例3．已知，求

例4．①已知 求；

②已知 ，求．

例5．①已知 ，求；

      ②已知，求．

例6．①已知是一次函数，满足，求；

②已知，求．

例7、已知函数,

(1)判断函数的奇偶性；

 (2)证明是上的增函数。

例8、已知函数，求其单调区间及值域。

．

例9、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)   

课后练习：

⑴已知，则．

⑵已知与分别由下表给出， 

⑶已知函数，

1求； ②若函数求．

（4）设函数，求．

（5）已知，求

（6）已知，求．

（7）讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．

解  由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．

当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．

当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．

综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数