2021-2022学年湖南沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级(上)期中数学试卷 (解析版)

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1．若向东走5m，记为+5m，则﹣3m表示为（　　）

A．向东走3m    B．向南走3m    C．向西走3m    D．向北走3m

2．2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法表示为（　　）

A．7.49×107    B．7.49×106    C．74.9×105    D．0.749×107

3．﹣7的绝对值是（　　）

A．﹣7    B．7    C．±7    D．

4．下列运算中，正确的是（　　）

A．8x+5y＝13xy    B．2a2+a2＝3a4    

C．5x﹣3x＝2    D．7x2y﹣2yx2＝5x2y

5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（　　）

A．a＞b    B．a+b＞0    C．ab＜0    D．|a|＜|b|

6．单项式x2yz2的系数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

7．下列说法中错误的个数是（　　）

①绝对值是它本身的数有两个，是0和1

②一个有理数的绝对值必为正数

③0.5的倒数的绝对值是2

④任何有理数的绝对值都不是负数．

A．0    B．1    C．2    D．3

8．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．5x﹣2y＝9    B．x2﹣5x+4＝0    C．+3＝0    D．﹣1＝3

9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）

A．若x＝y，则x+5＝y+5    B．若a＝b，则ac＝bc    

C．若＝，则a＝b    D．若x＝y，则＝

10．已知关于x的方程2x＝﹣4和x＝1﹣k的解相同，则k2﹣k的值是（　　）

A．6    B．0    C．﹣6    D．﹣13

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11．的倒数是 　   　．

12．已知m，n互为相反数，则m+n+1的值是 　 　．

13．如果一个多项式与2x2+5的和是3x2+x+5，那么这个多项式是 　     　．

14．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了　 　千克．

15．若x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，则k＝　    　．

16．为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为　     　．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17．计算：

（1）×（﹣1）×÷；

（2）﹣14+（﹣2）÷（﹣）+|﹣9|．

18．先化简，再求值：4x﹣2（x﹣3y）+（﹣x+5y），其中x＝﹣1，y＝1．

19．解方程：

（1）x﹣5＝4；

（2）3x+7＝2﹣2x．

20．如图，a，b在数轴上的位置．

（1）|a+b|＝　     　；

（2）化简：|a|+|b|﹣|b﹣a|．

21．在我校第十二届校园体育文化节活动中，校团委组织初三学生进行了《读学长文章，扬体育梦想》的有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如表所示：

（1）请把表格填写完整；

（2）若一等奖奖品买10件，则校团委共花费多少元？

22．已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．

（1）求A+2B；

（2）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．

23．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：

若x2+x＝0，则x2+x+1186＝　     　；

我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

（1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2021＝　     　；

（2）如果a+b＝3，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；

（3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求a2+2b2+6ab的值．

24．已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某个整式可以表示为aA+bB+cC（其中a，b，c为常数），我们约定如下分类：

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为A型整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为AB型整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为ABC型整式．

…

（1）依上面的分类方式，请给出B型整式和AC型整式的定义．

若 　          　，则称该整式为B型整式；

若 　          　，则称该整式为AC型整式．

（2）例如：整式m2﹣5m+5可称为“AB型整式”，证明如下：

∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．

即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．

问题：

（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？请回答问题并仿照上述例子进行证明．

（4）若整式4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，请求出相应的a，b，c（用含k的代数式表示）．

25．已知如图，在数轴上点A，B所对应的数是﹣4，4．对于关于x的代数式P，我们规定：当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B的任意一点时），代数式P取得的最大值小于等于4，最小值大于等于﹣4，则称代数式P是线段AB的相依代数式．例如，对于关于x的代数式|x|，当x＝±4时，代数式|x|取得最大值是4；当x＝0时，代数式|x|取得最小值是0，所以代数式|x|是线段AB的相依代数式．

问题：

（1）关于x代数式|x﹣2|，当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B）的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是 　 　和 　 　；所以代数式|x﹣2|　 　（填是或不是）线段AB的相依代数式．

（2）关于x的代数式：①x﹣；②x2﹣1，③x2+|x|﹣10，④|x+2|﹣|x﹣1|﹣1．是线段AB的相依代数式有 　 　，并证明（只需要证明是线段AB的相依代数式的式子，不是的不需证明）．

（3）已知关于x的代数式+2是线段AB的相依代数式，请求出有理数a的最大值与最小值．

参

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1．若向东走5m，记为+5m，则﹣3m表示为（　　）

A．向东走3m    B．向南走3m    C．向西走3m    D．向北走3m

【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．

解：向东走5m，记为+5m，则﹣3m表示为向西走3米，

故选：C．

2．2015年我国大学生毕业人数将达到7 490 000人，这个数据用科学记数法表示为（　　）

A．7.49×107    B．7.49×106    C．74.9×105    D．0.749×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：将7 490 000用科学记数法表示为：7.49×106．

故选：B．

3．﹣7的绝对值是（　　）

A．﹣7    B．7    C．±7    D．

【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数，据此求出﹣7的绝对值是多少即可．

解：﹣7的绝对值是7．

故选：B．

4．下列运算中，正确的是（　　）

A．8x+5y＝13xy    B．2a2+a2＝3a4    

C．5x﹣3x＝2    D．7x2y﹣2yx2＝5x2y

【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断即可．

解：A、8x和5y不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；

B、2a2+a2＝3a2，故此选项错误，不符合题意；

C、5x﹣3x＝2x，此选项错误，不符合题意；

D、7x2y﹣2yx2＝5x2y，此选项正确，符合题意．

故选：D．

5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（　　）

A．a＞b    B．a+b＞0    C．ab＜0    D．|a|＜|b|

【分析】根据数轴得出a＜﹣2＜0＜b＜2，再根据有理数的乘法，有理数的大小比较，绝对值进行判断即可．

解：∵从数轴可知：a＜﹣2＜0＜b＜2，

∴a＜b，a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，

∴只有选项C正确，选项A、B、D都错误；

故选：C．

6．单项式x2yz2的系数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【分析】根据单项式的系数是数字因数可得答案．

解：单项式x2yz2的系数是1．

故选：B．

7．下列说法中错误的个数是（　　）

①绝对值是它本身的数有两个，是0和1

②一个有理数的绝对值必为正数

③0.5的倒数的绝对值是2

④任何有理数的绝对值都不是负数．

A．0    B．1    C．2    D．3

【分析】根据绝对值的定义，可得答案．

解：①绝对值是它本身的数有非负数，故①说法错误；

②0的绝对值等于0，故②说法错误；

③0.5的倒数是2，2的绝对值是2，故③说法正确；

④任何有理数的绝对值都是非负数，故④说法正确；

故选：C．

8．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．5x﹣2y＝9    B．x2﹣5x+4＝0    C．+3＝0    D．﹣1＝3

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．

解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程；

B、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；

C、分母中含有未知数，不是一元一次方程；

D、符合一元一次方程的定义．

故选：D．

9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）

A．若x＝y，则x+5＝y+5    B．若a＝b，则ac＝bc    

C．若＝，则a＝b    D．若x＝y，则＝

【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．

解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意；

B、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意；

C、若＝，则a＝b，正确，不合题意；

D、若x＝y，则＝，a≠0，故此选项错误，符合题意．

故选：D．

10．已知关于x的方程2x＝﹣4和x＝1﹣k的解相同，则k2﹣k的值是（　　）

A．6    B．0    C．﹣6    D．﹣13

【分析】本题有两个方程，先求2x＝﹣4的解得x＝﹣2，再把x＝﹣2代入第二个方程，得到k的值，最后求出k2﹣k的值．

解：解方程2x＝﹣4得，x＝﹣2，

把x＝﹣2代入x＝1﹣k得：﹣2＝1﹣k，

解得：k＝3

将k＝3代入k2﹣k＝32﹣3＝6．

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11．的倒数是 　12　．

【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．

解：的倒数是12．

故答案为：12．

12．已知m，n互为相反数，则m+n+1的值是 　1　．

【分析】根据题意，可得：m+n＝0，据此求出m+n+1的值是多少即可．

解：∵m，n互为相反数，

∴m+n＝0，

∴m+n+1

＝0+1

＝1．

故答案为：1．

13．如果一个多项式与2x2+5的和是3x2+x+5，那么这个多项式是 　x2+x　．

【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案

解：该多项式为：（3x2+x+5）﹣（2x2+5）

＝3x2+x+5﹣2x2﹣5

＝x2+x，

故答案为：x2+x．

14．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了　5　千克．

【分析】设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，根据用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材比乙种药材多买了2千克，列方程求解．

【解答】5解：设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，

依题意，得20x+60（x﹣2）＝280，

解得：x＝5．

即：甲种药材5千克．

故答案是：5．

15．若x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，则k＝　2或4　．

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．

解：∵x|k﹣3|+2＝0是关于x的一元一次方程，

|k﹣3|＝1，

解答k＝2或4．

故答案为：2或4．

16．为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为　6n+2　．

【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可．

【解答】方法一：

解：第1个图形有8根火柴棒，

第2个图形有14根火柴棒，

第3个图形有20根火柴棒，

…，

第n个图形有6n+2根火柴棒．

故答案为：6n+2．

方法二：

当n＝1时，s＝8，当n＝2时，s＝14，当n＝3时，s＝20，

经观察，此数列为一阶等差，

∴设s＝kn+b，

，

∴，

∴s＝6n+2．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17．计算：

（1）×（﹣1）×÷；

（2）﹣14+（﹣2）÷（﹣）+|﹣9|．

【分析】（1）先确定积的符号，同时将除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可；

（2）先计算乘方、再计算除法、最后计算加法即可．

解：（1）×（﹣1）×÷

＝﹣×××

＝﹣；

（2）﹣14+（﹣2）÷（﹣）+|﹣9|

＝﹣1+（﹣2）×（﹣3）+9

＝﹣1+6+9

＝14．

18．先化简，再求值：4x﹣2（x﹣3y）+（﹣x+5y），其中x＝﹣1，y＝1．

【分析】直接去括号，再利用整式的加减运算法则计算得出答案．

解：原式＝4x﹣2x+6y﹣x+5y

＝x+11y，

当x＝﹣1，y＝1时，

原式＝﹣1+11×1

＝10．

19．解方程：

（1）x﹣5＝4；

（2）3x+7＝2﹣2x．

【分析】（1）移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求得方程的解；

（2）移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求得方程的解．

解：（1）x﹣5＝4，

移项，合并同类项得：

x＝9，

把x的系数化为1得：

x＝27．

（2）3x+7＝2﹣2x，

移项，合并同类项得：

5x＝﹣5，

把x的系数化为1得：

x＝﹣1．

20．如图，a，b在数轴上的位置．

（1）|a+b|＝　﹣a﹣b　；

（2）化简：|a|+|b|﹣|b﹣a|．

【分析】（1）根据数轴可得a+b＜0，再根据绝对值的性质可得答案；

（2）先根据数轴判断正负，再化简即可．

解：（1）由数轴可得，b＜0＜a，|b|＞|a|，

∴a+b＜0，

∴|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b；

故答案为：﹣a﹣b．

（2）由数轴可得，a＞0，b＜0，b﹣a＜0，

∴|a|+|b|﹣|b﹣a|＝a﹣b+b﹣a＝0．

21．在我校第十二届校园体育文化节活动中，校团委组织初三学生进行了《读学长文章，扬体育梦想》的有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如表所示：

（1）请把表格填写完整；

（2）若一等奖奖品买10件，则校团委共花费多少元？

【分析】（1）利用已知条件先表示出二等奖奖品的数量，再用奖品总数减去一、二奖的奖品的数量即可得出结论；

（2）利用（1）中的表格内数量用代数式表示出y，再将x＝10代入计算即可得出结论．

解：（1）∵一等奖奖品买x件，

∴二等奖买（2x﹣10）件，

∴三等奖买：50﹣（x+2x﹣10）＝（60﹣3x）件，

故答案为：2x﹣10、60﹣3x；

（2）买50件奖品所需总费用：y＝12x+10（2x﹣10）+5（60﹣3x）＝17x+200，

当x＝10时，y＝370．

答：一等奖奖品买10件，则校团委共花费370元．

22．已知：A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1．

（1）求A+2B；

（2）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．

【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则，去括号、合并同类项化简得出答案；

（2）根据A+2B的值与a的取值无关，得出a的系数为零，进而得出答案．

解：（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，

∴A+2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1）

＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+2ab﹣2

＝5ab﹣2a﹣3；

（2）∵A+2B的值与a的取值无关，

∴5ab﹣2a＝0，

∴a（5b﹣2）＝0，

∴5b﹣2＝0，

解得：．

23．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：

若x2+x＝0，则x2+x+1186＝　1186　；

我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

（1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2021＝　2022　；

（2）如果a+b＝3，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；

（3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求a2+2b2+6ab的值．

【分析】（1）先将已知等式进行移项求得x2+x＝1，然后利用整体思想代入求值；

（2）将原式进行整理，然后利用整体思想代入求值；

（3）将原式进行整理变形，然后利用整体思想代入求值．

解：（1）∵x2+x﹣1＝0，

∴x2+x＝1，

∴原式＝1+2021＝2022，

故答案为：2022；

（2）原式＝2（a+b）﹣4（a+b）+21

＝﹣2（a+b）+21，

∵a+b＝3，

∴原式＝﹣2×3+21

＝﹣6+21

＝15，

∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值为15；

（3）原式＝a2+2ab+（2b2+4ab）

＝a2+2ab+2（b2+2ab），

∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，

∴原式＝20+2×8

＝20+16

＝36，

∴a2+2b2+6ab的值为36．

24．已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某个整式可以表示为aA+bB+cC（其中a，b，c为常数），我们约定如下分类：

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为A型整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为AB型整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为ABC型整式．

…

（1）依上面的分类方式，请给出B型整式和AC型整式的定义．

若 　b≠0，a＝c＝0　，则称该整式为B型整式；

若 　a≠0，c≠0，b＝0　，则称该整式为AC型整式．

（2）例如：整式m2﹣5m+5可称为“AB型整式”，证明如下：

∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．

即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．

问题：

（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？请回答问题并仿照上述例子进行证明．

（4）若整式4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，请求出相应的a，b，c（用含k的代数式表示）．

【分析】（1）类比得出B型整式和AC型整式的定义即可；

（3）类比方法拆开表示得出答案即可；

（4）类比方法拆开表示得出答案即可．

解：（1）若b≠0，a＝c＝0，则称该整式为B型整式；

若a≠0，c≠0，b＝0，则称该整式为AC型整式，

故答案为：b≠0，a＝c＝0；a≠0，c≠0，b＝0；

（3）﹣3m2﹣m+3＝﹣2（m2+m﹣1）+（﹣m2+m﹣1）＝﹣2A+C，

∴﹣3m2﹣m+3为AC型整式；

（4）∵4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，

∴4m2+km+k

＝（m2+m﹣1）+（m2﹣m+1）+k（﹣m2+m﹣1）

＝A+B+kC，

∴a＝，b＝，c＝k．

25．已知如图，在数轴上点A，B所对应的数是﹣4，4．对于关于x的代数式P，我们规定：当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B的任意一点时），代数式P取得的最大值小于等于4，最小值大于等于﹣4，则称代数式P是线段AB的相依代数式．例如，对于关于x的代数式|x|，当x＝±4时，代数式|x|取得最大值是4；当x＝0时，代数式|x|取得最小值是0，所以代数式|x|是线段AB的相依代数式．

问题：

（1）关于x代数式|x﹣2|，当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间（包括点A，B）的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是 　6　和 　0　；所以代数式|x﹣2|　不是　（填是或不是）线段AB的相依代数式．

（2）关于x的代数式：①x﹣；②x2﹣1，③x2+|x|﹣10，④|x+2|﹣|x﹣1|﹣1．是线段AB的相依代数式有 　④　，并证明（只需要证明是线段AB的相依代数式的式子，不是的不需证明）．

（3）已知关于x的代数式+2是线段AB的相依代数式，请求出有理数a的最大值与最小值．

【分析】（1）根据绝对值的性质可求最值，再根据相依代数式的定义即可判断；

（2）根据相依代数式的定义即可求解；

（3）分两种情况讨论：+2≤4，+2≥﹣4，依此即可求解．

解：（1）当x＝﹣4时，|x﹣2|取得最大值为6，当x＝2时，|x﹣2|取得最小值为0，

∵|x﹣2|的最大值＞4，

∴|x﹣2|不是线段AB的相依代数式，

故答案为：6，0，不是；

（2）①当x＝4时，x﹣＝2﹣＝﹣，

当x＝﹣4时，x﹣＝﹣2﹣＝﹣，

∴代数式x﹣不是线段AB的相依代数式；

②当x＝4时，x2﹣1＝16﹣1＝15，

当x＝0时，x2﹣1＝﹣1，

∴代数式x2﹣1不是线段AB的相依代数式；

③当x＝4时，x2+|x|﹣10＝16+4﹣10＝10，

当x＝0时，x2+|x|﹣10＝0+0﹣10＝﹣10，

∴代数式x2+|x|﹣10不是线段AB的相依代数式；

④当x＝4时，|x+2|﹣|x﹣1|﹣1＝6﹣3﹣1＝2，

当x＝﹣4时，|x+2|﹣|x﹣1|﹣1＝2﹣5﹣1＝﹣4，

∴代数式|x+2|﹣|x﹣1|﹣1是线段AB的相依代数式；

故答案为：④；

（3）当x＝﹣1时，+2≥﹣4，

解得：a≥﹣12，

当x＝﹣1时，+2≤4，

解得：a≤4，

∴a的最大值与最小值分别为4，﹣12．