初三数学
（满分150分，完卷时间100分钟） 2017.01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C=90º，如果BC=2，∠A=，则AC的长为（ D ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（ C ）
（A）； （B）； （C）； （D）.
3．小明身高1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ）
（A）45米； （B）40米； （C）90米； （D）80米．
4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（ B ）
（A）∥，∥； （B）；
（C）=； （D）=， =．
5．如图，在□ABCD中 ，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式中，错误的是（ C ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6．如图，已知在△ABC中，，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（ B ）
（A）1︰2； （B）1︰3；
（C）1︰4； （D）1︰9．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值为 ．
8．计算： =_____________．
9．已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是_____________．
10．把抛物线向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为_________________．
11．已知在△ABC中，∠C=90°，，BC=6，则AB的长是____8________．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC︰CE=3︰5，BF=9，那么DF=__________．
13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线上，那么y1_>__y2．（填“﹥”、“=”或“﹤”）
14．已知抛物线过（-1，1）和（5，1）两点 ，那么该抛物线的对称轴是直线________．
15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 _____2________．
16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为_____________米．（结果保留根号）
17．如图，在Rt△ABC中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为_______．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
解：原式=
20．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且，设，.
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）求作向量在、方向上的分向量.
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
解：（1） ∵，∴
∵，∴
∵，且
∴
（2）解：
所以，向量、即为所求的分向量
21．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，已知AC∥BD ，AB和CD相交于点E，AC=6,BD=4，
F是BC上一点，.
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4,求△ABC的面积.
解：（1）∵，∴
∵，∴
∵△BEF和△CEF同高，且，∴
∴
∴
∴，∴，∴
（2）∵，，∴
∴△BEF∽△ABC
∴
∵，∴，∵
∴
∴
22．（本题满分10分，每小题各5分）
某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离.
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1︰2，求平台EF的长度.（精确到0.1米）
（参考数据：，，）
解：（1）联结AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°
在Rt△ABG中，
∵BG=2.26，，∴，∴
答：A、B之间的距离至少要6.3米.
（2）方法一:设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q
∵AE和FC的坡度为1︰2，∴
设AP=x，则PE=2x，PD=8-x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8-x
∴FQ=2（8-x）=16-2x
在Rt△ACD中，
∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22
∵ PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16-2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米.
方法二:延长AE交DC于点M
∵AE和FC的坡度为1︰2，即AM和FC的坡度为1︰2
∴tan∠AMD=tan∠FCD
∵∠AMD和∠FCD都是锐角，∴∠AMD=∠FCD，∴AM∥FC
∵EF∥DC，∴四边形EMCF是平行四边形，∴EF=MC
∵，AD=8，∴DM=16
在Rt△ACD中，
∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22
∴GC=CD-DG=6.22，∴EF=6.22≈6.2
答：平台EF的长度约为6.2米.
23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且.
（1）求证：AE⊥CD；
（2）联结BF,如果点E是BC中点,求证: ∠ EBF=∠EAB.
证明：（1）∵，∴，又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA
∴∠ABC=∠EAC
∵点D是AB的中点，∴CD=AD
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴
∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB
24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图，抛物线过点B(3，0)，C(0，3)，D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，
求点M坐标.
解：（1）∵抛物线经过点B（3,0）和点C（0,3）
∴
解得
∴抛物线解析式为
由 得抛物线顶点D（1,4）
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线，
∵点E与点C（0,3）关于直线对称，∴点E（2，3）
过点E作EH⊥BC于点H，由OC=OB=3得BC=
∵且CE=2，
∴ 得
∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=，∴
∴在Rt△BEH中，
(3) 当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4
∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角
∴∠CBE=∠BDP
∵△DMB∽△BEC
∴或
1，∵DM=4-m，，，
∴，解得，∴点M（1，）
2，则，解得
∴点M（1，）
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在.
综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，）
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
如图，已知四边形ABCD是矩形，，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于
x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE
的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°
在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12
∴
（2）∵AD∥BC，∴，∵
∴，∵，∴△EDF∽△BDE
∴
∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=，∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，
∵，∴
∴
定义域
（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形
ⅰ）当BE=BD时
∵BD=20，∴BE=20
ⅱ）当DE=DB时
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12
∴BE=24
ⅲ）当EB=ED时
作EH⊥BD于H，则BH=
，即
∴，∴
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或.
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