06年全国初中数学竞赛山东赛区预赛暨

2005年山东省初中数学竞赛试题

（2005年12月4日上午8∶30—11∶00）

一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内.

1．化简得                            （   ）

2．满足不等式组

的所有整数的个数为                                           （    ）

       A.1      B.2        C.21      D.22

3．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（     ）

A.52      B.54       C.56       D.58 

4．由一元二次方程x+px+q=0的两个根为p、q，则pq等于     （    ）

A.0       B.1        C.0或-2   D.0或1

5．如图，△ABC中，∠B=400，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E,且

∠EAB∶∠CAE=3∶1，则∠C等于                                  （    ）

A.280          B.250        

 C.22.50        D.200

6．全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小组，90%的学生参加数学小组，则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是                                                     （    ）

A.10%          B.15%         C.20%        D.25%

7．有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3∶5，则桶的容积为              （    ）

A.30升         B.40升       C.50升       D.60升

8．三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形          （   ）

A.一定是锐角三角形   

B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形   

D.与原三角形相似

二、填空题（本提供4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接天再对应题目中的横线上

9．如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交

AD,AC于E,F.若，那么等于             .

10.方程||x-3|+3x|=1的解是             .

11．AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若BC=a,CA=b,AB=c,

则AD2+BE2+CF2=             .

12．有两个二位数，它们的差是58，它们的平方数的末两位数相同，则这个二位数是             .

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．△ABC中，AB=1,AC=2,D是BC中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE.求CF的长.

14．某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？

15．把数字1，2，3，…，9分别填入右图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

Ⅰ给出符合要求的填法

Ⅱ共有多少种不同填法？证明你的结论

2006年全国初中数学竞赛山东赛区预赛暨

2005年山东省初中数学竞赛试题

参

一、选择题

    DCBCA   CBA

二、填空题

    9．   10.-2或-1  11.  12.79和21  

三、解答题

    13．解：分别过E作EH⊥AB于H，EG⊥AC于G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG

从而有

又由DF∥AE,得

            所以CF=CA==

      14.解：设甲队有x人，则乙队有[2(x-70)-70]人，即乙队有(2x-210)人

      设从乙队调y人去甲队，甲队人数为乙队人数的3倍，则

             3(2x-210-y)=x+y,

      即     x=126+y

             由y>0知y至少为5，即x126+4=130.所以甲队至少有130人. 

     15.解：Ⅰ右图给出了一个符合要求的填法

Ⅱ共有6种不同填法

把填入A,B,C三处圈内的三个数字之和

记为x；D,E,F三处圈内的三个数字之和记为y；其余三圈

所填的数字之和为z.显然有x+y+z=1+2+…+9=45   ①

图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有

z+3y+2x=6×18=108     ②

②-①,得

X+2y=108-45=63        ③

把AB,BC,CA每一边上三圈中之数的和相加，则

可得   2x+y=3×18=54    ④

联立③，④，解得 x=15，y=24，继而之z=6.

在1，2，3，…，9种三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D,E,F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法.显然，当这三个圈中指数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内指数也随之确定，从而的结论，共有6种不同的填法