函数的单调性 例题解析 试题

【例1】求以下函数的增区间与减区间

(1)y＝|x2＋2x－3|

解  (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．

先作出f(x)的图像，保存其在x轴及x轴上方局部，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)

递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．

解  当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，那么函数y＝－x．

当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，那么函数y＝x－2．

∴增区间是(－∞，0)和(0，1)

减区间是[1，2)和(2，＋∞)

(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．

令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．

∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，务实数a的取值范围．

解  当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．

假设a＜0时，无解．

∴a的取值范围是0≤a≤1．

【例3】二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比拟大小：

(1)f(6)与f(4)

解  (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

时为减函数．

解  任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．

当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．

当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．

【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

证  取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．

又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)

故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

解  定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．

∴当0＜x1＜x2≤1或者－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)

∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．

当1≤x1＜x2或者x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．

根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致

说明  1°要掌握利用单调性比拟两个数的大小．

2°注意对参数的讨论(如例4)．

3°在证明函数的单调性时，要灵敏运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)

4°例6是分层讨论，要逐步培养．

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