北师大版七年级数学下册 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

类型一　含一个拐点的平行线问题

1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为(　　)

A．140°  B．130°  C．120°  D．110°

第1题图　第2题图

2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为(　　)

A．20°  B．30°  C．40°  D．70°

3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.

第3题图　第4题图

4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．

5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】

类型二　含两个或多个拐点的平行线问题

6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为(　　)

A．∠1＋∠2－∠3  B．∠1＋∠3－∠2

C．180°＋∠3－∠1－∠2  D．∠2＋∠3－∠1－180°

第6题图　　第7题图

7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.

8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：

(1)如图①，∠1＋∠2＝________；

(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；

(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；

(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．

9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；

(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．

参与解析

1．B　解析：过点C向右作CG∥AB，由题意可得AB∥EF∥CG，∴∠B＝∠BCG，∠GCD＝90°，则∠BCD＝40°＋90°＝130°.故选B.

2．B　解析：如图，过点C作CF∥DE，则AB∥DE∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠CDE＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－40°＝30°.故选B.

3．360

4．15°　解析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2.∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°.∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°.

5．解：如图①，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＝∠APF，∠PCD＝∠FPC，∴∠APC＝∠APF＋∠FPC＝∠PAB＋∠PCD；

如图②，过点P作PF∥AB，则AB∥PF∥CD.∴∠PAB＋∠APF＝180°，∠PCD＋∠FPC＝180°，∴∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°；

如图③，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＋∠PAB＝180°，∠FPA＋∠APC＋∠PCD＝180°，∴∠PAB＝∠APC＋∠PCD；

如图④，过点P作PF∥AB，则PF∥AB∥CD.∴∠FPA＝∠PAB，∠FPA＋∠APC＝∠PCD，∴∠PAB＋∠APC＝∠PCD.

6．D　解析：如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG∥FH，∴∠1＝∠AEG，∴∠GEF＝∠2－∠1.∵EG∥FH，∴∠EFH＝180°－∠GEF＝180°－(∠2－∠1)＝180°－∠2＋∠1，∴∠CFH＝∠3－∠EFH＝∠3－(180°－∠2＋∠1)＝∠3＋∠2－∠1－180°.∵FH∥CD，∴∠4＝∠CFH＝∠3＋∠2－∠1－180°.故选D.

7．140　解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD.∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.

8．(1)180°　(2)360°　(3)540°　(4)(n－1)·180°

解析：(1)如图①，∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝180°；

(2)如图②，过点E作直线EF平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1＋∠AEF＝180°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.

(3)过点E，F作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.

(4)根据上述规律，显然作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补，即可得到n个角的和是(n－1)·180°.

9．解：(1)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，分别过点E，G，M作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3＋∠5.

(2)∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.结论：开口朝左的所有角的度数之和与开口朝右的所有角的度数之和相等．