《二次根式》培优专题之难点指导与典型例题(含答案及解析)

——难点指导及典型例题 

【难点指导】

1、如果是二次根式，则一定有a≥0；当a≥0时，必有≥0；

2、当a≥0时，表示a的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；

3、表示a2的算术平方根，因此有，a可以是任意实数；

4、区别和的不同：

中的可以取任意实数，中的a只能是一个非负数，否则无意义．

5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

：

（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即：

                (m＜0)．

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 

6、二次根式的比较：

（1）若，则有；（2）若，则有．

   说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．

【典型例题】

1、概念与性质

2、二次根式的化简与计算

}

例1. 化简的结果是（   ）

A．     B．     C．-     D．-

分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B形式最简单,所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值.

解：C.    理由如下:

∵二次根式有意义的条件是,即，

∴原式=.故选C.

例2. 把（a－b）化成最简二次根式

解：

}

例3、先化简，再求值：

       ，其中a=，b=．

3、在实数范围内分解因式

例. 在实数范围内分解因式。（1）；                （2）

$

4、比较数值

（1）、根式变形法

当时，如果，则；如果，则。

例1、比较与的大小。

（2）、平方法

当时，如果，则；如果，则。

例2、比较与的大小。

】

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较与的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较与的大小。

（5）、倒数法

例5、比较与的大小。

~

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较与的大小。

 ＜6，＞6，∴＜

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

； 

例7、比较与的大小。

|

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：

；  

例8、比较与的大小。

 5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

  ， 验证：；

     验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；

[

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例2. 已知，则a_________

发展：已知，则a______。

    例3、化简下列各式：

     （1）　　　　　　　　　　　　　　（2）

 例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（  ）A．     B．2    C．      D．