书中常用结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为
，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 典例精析
1. （切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
解：(1)时，由，解得.
所以当时，有最小值. (2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P 处的切线方程为. 令，得，∴
∵，∴
，即. sin 1x
x
3±=x 33= x )(x g 9 32)33(-=g )(x f y =)2,(211a x x P -112)(x x f k ='=)(x f y =)(2)2(1121x x x a x y -=--0=y 12122x a x x +=12 111211222x x a x x a x x x -=-+=-a x >1021 2 1<-x x a 12x x < 又∵ ，∴ 所以. 2. （天津理，极值比较讨论） 已知函数其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率； ⑵当时，求函数的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴ ⑵ 以下分两种情况讨论： ①＞ ，则＜.当变化时，的变化情况如下表： ②＜ ，则＞，当变化时，的变化情况如下表： 1122x a x ≠a x a x x a x x a x x =⋅>+=+=1 11112 12222222a x x >>2122()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R a ∈R 0a =()(1,(1))y f x f =在点2 3 a ≠ ()f x .3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=[] . 42)2()('22x e a a x a x x f +-++=.223 2 .220)('-≠-≠ -=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令a 若3 2 a 2-2-a x )()('x f x f ，.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，在所以--∞+---∞a a a a x f . 3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数a 若3 2 a 2-2-a x )()('x f x f ，内是减函数。 ，内是增函数，在，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ 3. 已知函数 ⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值； ⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。 4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f (x )=ln x － . (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3 2 ，求a 的值. .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数2 21()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b = +=+()()y f x y g x ==与0a >b a b [0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+-- a a x 解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝ 1x ＋2a x ＝ . ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝ ， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝ 32，∴a ＝－3 2 (舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－ ＝32，∴a ＝－2 e (舍去). ③若－e 当1 2 ⇒a 综上可知：a 5. （最值直接应用）已知函数，其中. （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围. 解：（Ⅰ）. 依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当时，. 故的单调增区间是；单调减区间是. ② 当时，令，得，或. 当时，与的情况如下： 2 x a x +2x a x +a e )1ln(2 1)(2 x ax x x f +-- =a ∈R 2x =)(x f a )(x f )(x f [0,)+∞0a (1) (),(1,)1 x a ax f x x x --'= ∈-+∞+(2)0f '=13a =1 3a =0=a ()1 x f x x '=+)(x f (0,)+∞)0,1(-0a >()0f x '=10x =21 1x a =-10<所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 当时，的单调减区间是. 当时，与的情况如下： 所以，的单调增区间是；单调减区间是和. ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是； 当时，的增区间是；减区间是和. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意. 当时，在的最大值是， 由，知不合题意. 当时，在单调递减， 可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是. 6. （北京理数） 已知函数()f x =ln (1+)-+ (≥0). (Ⅰ)当=2时，求曲线=()f x 在点(1,(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间. ()f x (0, 1)a -)0,1(-(1,)a -+∞1=a )(x f ),1(+∞-1a >210x -<<()f x ()f x '()f x (1,0)a -(1, 1)a --(0,)+∞01)a -)0,1(-1 (1,)a -+∞1=a )(x f ),1(+∞-1a >()f x 1(1,0)a -1 (1, 1)a --(0,)+∞0a ≤)(x f (0,)+∞0)0(=f 10<-1(1)(0)0f f a ->=1≥a )(x f (0,)+∞)(x f [0,)+∞0)0(=f )(x f [0,)+∞0a [1,)+∞x x 2 2 x x k k y f 解：（I ）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II ），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是. 当时，得，. 所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 7. （2010山东文，单调性） 已知函数 ⑴当时，求曲线在点处的切线方程； ⑵当时，讨论的单调性. 解：⑴ ⑵因为 ， 2k =2()ln(1)f x x x x =+-+1 '()121f x x x = -++(1)ln 2f =3'(1)2 f = ()y f x =(1,(1))f 3 ln 2(1)2 y x -=-322ln 230x y -+-=(1) '()1x kx k f x x +-= +(1,)x ∈-+∞0k ='()1x f x x =-+(1,0)-'()0f x >(0,)+∞'()0f x <()f x (1,0)-(0,)+∞01k <<(1)'()01x kx k f x x +-= =+10x =210k x k -=>(1,0)-1(,)k k -+∞'()0f x >1(0,)k k -'()0f x <()f x (1,0)-1(,)k k -+∞1(0,)k k -1k =2 '()1x f x x =+()f x (1,)-+∞1k >(1)'()01x kx k f x x +-==+11(1,0)k x k -=∈-20x =1(1,)k k --(0,)+∞'()0f x >1(,0)k k -'()0f x <()f x 1(1,)k k --(0,)+∞1(,0)k k -1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈1a =-()y f x =(2,(2))f 1 2 a ≤ ()f x ln 20x y -+=11ln )(--+ -=x a ax x x f 所以 ， 令 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结 合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－ ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切． 解：（Ⅰ） ，． ∵且，∴∴函数的单调递增区间为． （Ⅱ）∵ ，∴， ∴ 切线的方程为, 即, ① 设直线与曲线相切于点， ∵，∴，∴,∴0ln 101()x g x e x -==. ∴直线也为， 即， ② 由①②得 ，∴． 由（Ⅰ）可知，在区间上递增． 211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--=),0(+∞∈x ,1)( 2 a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x 1 1 x x ()1 ()1 x x f x x ϕ+=- -1 1 ln -+- =x x x ()()()22211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ0x >1x ≠()0x ϕ'>()x ϕ()()∞+，和1 1,01 ()f x x '= 001()f x x '=l 0001ln ()y x x x x -= -00 1 ln 1y x x x =+-l ()y g x =11(,)x x e ()x g x e '=10 1x e x = 10ln x x =-l ()00011ln y x x x x -=+0000 ln 1 1x y x x x x =++00ln 1ln 1x x x x -=+0001 ln 1x x x +=-()x ϕ1 ln -- =x x 1,+∞（） 又， 结合零点存在性定理，说明方程 求的唯一，故结论成立． 9. （最值应用，转换变量） 设函数． (1)讨论函数在定义域内的单调性； (2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围． 解：⑴． 当时，增区间为，减区间为，． 当时，减区间为． 当时，增区间为，减区间为，． ⑵由⑴知，当时，在上单调递减， ∴，≤， 即≤ ． ∵恒成立， ∴＞，即， 又，∴． ∵，∴，∴≤． 10. （最值应用） 已知二次函数对都满足且，设函数 （，）． （Ⅰ）求的表达式； 12()ln 011 e e e e e ϕ+-=-=<--2222 2 213()ln 01e e e e e ϕ+-=-=>-()0x ϕ=0x 221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+<()f x (3,2)a ∈--12,[1,3]x x ∈12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-m 221()2a f x a x x -'=+-2 22(2)1ax a x x +--=2(1)(21) ax x x +-=2a <-112a - <11(,)2a -1(0,)a -1 (,)2+∞2a =-11 2a -=(0,)+∞20a -<<112a ->11(,)2a -1(0,)21 (,)a -+∞(3,2)a ∈--()f x [1,3]12,[1,3]x x ∈12|()()|f x f x -(1)(3)f f -1 (12)[(2)ln 36]3 a a a =+--++12|()()|f x f x -2 4(2)ln 33 a a -+-12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-(ln 3)2ln 3m a +-24(2)ln 33a a -+-2 43 ma a >-0a <2 43m a < -(3,2)a ∈--132384339a - <-<-m 133 -()g x x R ∀∈2(1)(1)21g x g x x x -+-=--(1)1g =-19 ()()ln 28 f x g x m x =+++m R ∈0x >()g x （Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）设，求证：对于，恒有 ． 解：（Ⅰ）设，于是 所以 又，则．所以． …………3分 （Ⅱ） 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分 当m =0时，对，恒成立； …………5分 当m <0时，由，列表： 所以若，恒成立，则实数m 的取值范围是． 故使成立，实数m 的取值范围．…………9分 （Ⅲ）因为对，所以在内单调递减． 于是 记，则 所以函数在是单调增函数， x R +∃∈()0f x ≤m 1m e <≤()()(1)H x f x m x =-+12[1,]x x m ∀∈，12|()()|1H x H x -<()2 g x ax bx c =++()()()()2 2 11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，121. a c ⎧=⎪ ⎨⎪=-⎩， ()11g =-12b =-()211 122 g x x x =--() 2 191()ln ln (0). 282 f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，2 ()02 x f x =>0x ∀>()0f x >()0m f x x x x '=+=⇒=[]min ()2 m f x f m ==-+这时，[]min 0()0e<0.20 m m f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，0x ∀>()0f x >(e 0]-，0x ∃>()0f x ≤()(,e]0-∞-+∞U ，[1]x m ∀∈，(1)() ()0x x m H x x --'= ≤，()H x [1,]m 21211 |()()|(1)()ln . 22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113 |()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--<13 ()ln (1e)22h m m m m m = --<≤()2 2113311 1()02233 2h'm m m m =-+=-+>，13 ()ln 22h m m m m =--(1e]， 所以，故命题成立． …………12分 11. 设是函数的一个极值点. （1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围. 解：（1）∵ ∴ 由题 意得：，即， ∴且 令得， ∵是函数的一个极值点 ∴，即 故与的关系式为. 当时，由得单增区间为：； 由得单减区间为：和； 当时，由得单增区间为：； 由得单减区间为：和； （2）由（1）知：当时，在上单调递增，在上 单调递减，, ∴在上的值域为. 易知在上是增函数, ()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e h m h -+≤=--=<3x =()() ()23,x f x x ax b e x R -=++∈a b a b ()f x ()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭ []12,0,4ξξ∈()()121f g ξξ-2 3x f x x ax b e -=++()() ()()' ' 32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x x a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()' 30f =()23320a b a +-+-=23b a =--()() 2 323x f x x ax a e -=+--()()()' 331x f x x x a e -=--++()' 0f x =13x =21x a =--3x =()() ()2 3,x f x x ax b e x R -=++∈12x x ≠4a ≠-a b ()23,4b a a =--≠-4a <-213x a =-->()' 0f x >()3,1a --()' 0f x <(),3-∞()1,a --+∞4a >-213x a =--<()' 0f x >()1,3a --()' 0f x <(),1a -∞--()3,+∞0a >210x a =--<()f x []0,3[]3,4{},)32()4(),0(min )(3 min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+()f x []0,4]6,)32([3 ++-a e a ()2254x g x a e ⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭[]0,4 ∴在上的值域为. 由于， 又∵要存在，使得成立， ∴必须且只须解得:. 所以，的取值范围为. 12. ． （1）若，求函数的极值； （2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示）， 并确定的单调区间； （3）在（2）的条件下，设，函数．若存在使 得成立，求的取值范围． 解:（1）∵ 当时，,则. 令得，∵,∴，解得 ∵当时， 当时，当时 ∴当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值，． ()g x []0,42 242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫+ + ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()2 22516042a a a ⎛⎫⎛ ⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭[]12,0,4ξξ∈()()121f g ξξ-<()202561 4a a a >⎧ ⎪ ⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝ ⎭⎩302a <2 ()()()x f x x ax b e x R =++∈2,2a b ==-()f x 1x =()f x a b a b ()f x 0a >2 4 ()(14)x g x a e +=+]4,0[,21∈λλ1|)()(|21<-λλf f a 22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++2,2a b ==-2()(22)x f x x x e =+-'()f x 2(4)x x x e =+'()0f x =2(4)0x x x e +=0x e ≠240x x +=124,0x x =-=(,4)x ∈-∞-'()0f x >(4,0)x ∈-'()0f x <(0,)x ∈+∞'()0f x >4x =-()f x 4 6()f x e 极大＝ 0x =()f x ()2f x =-极小 （2）由（1）知 ∵是函数的一个极值点 ∴ 即，解得 则＝ 令，得或 ∵是极值点，∴，即 . 当即时，由得或 由得 当即时，由得或 由得. 综上可知： 当时，单调递增区间为和，递减区间为 当时，单调递增区间为和，递减区间为。 （3）由2）知：当a >0时，在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为 又∵， ∴函数在区间[0，4]上的值域是，即] 又在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是. ∵－＝＝， ∴存在使得成立只须 －<1.． 2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++1x =()f x (1)0f '=[1(2)()]0e a a b ++++=32b a =--2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--(1)[(3)]x e x x a -++()0f x '=11x =23x a =--1x =31a --≠4a ≠-31a -->4a <-()0f x '>(3,)x a ∈--+∞(,1)x ∈-∞()0f x '<(1,3)x a ∈--31a --<4a >-()0f x '>(1,)x ∈+∞(,3)x a ∈-∞--()0f x '<(3,1)x a ∈--4a <-(,1)-∞(3,)a --+∞(1,3)a --4a >-(,3)a -∞--(1,)+∞(3,1)a --()f x ()f x [0,4](1)(2)f a e =-+(0)f =(23)x be a =-+0<4 (4)(213)0f a e =+>()f x [(1),(4)]f f 4 [(2),(213)]a e a e -++2 4 ()(14)x g x a e +=+2428 [(14),(14)]a e a e ++2 4 (14)a e +4 (213)a e +2 4 (21)a a e -+2 4 (1)0a e -≥]4,0[,21∈λλ1|)()(|21<-λλf f 24(14)a e +4(213)a e +24241(1)1(1)a e a e ⇒-<⇒-< 22 11 11a e e ⇒-<<+ 13. (山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围. 解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数. ⑴， 令 ①当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增. ②当时，由，即，解得. 当时，恒成立，此时，函数单调递减； 当时，,时，函数单调递减； 时，函数单调递增； 时，函数单调递减. 当时，当,函数单调递减； 当，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增； 当时,恒成立,此时，函数在单调递减； 1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a ∈R 1 2 a ≤ ()f x 2()2 4.g x x bx =-+1 4 a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥ b ()f x ()g x 1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->222l 11 ()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=>2()1(0)h x ax x a x =-+->0a =()1(0)h x x x =-+>(0,1),()0,()0x h x f x '∈><()f x (1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>()f x 0a ≠()0f x '=210ax x a -+-=121 1,1x x a ==-1 2a = 12x x =()0h x ≥()0f x '≤()f x 102a <<1 110a ->>(0,1)x ∈()0,()0h x f x '><()f x 1 (1,1)x a ∈-()0,()0h x f x '<>()f x 1 (1,)x a ∈-+∞()0,()0h x f x '><()f x 0a <1 10a -<(0,1),()0,()0x h x f x '∈><()f x (1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>()f x 0a ≤()f x (0,1)(1,)+∞1 2 a = 12x x =()0h x ≥()0f x '≤()f x (0,)+∞ 当时,函数在递减,递增,递减. ⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意， 有， 又已知存在，使，所以，（※） 又 当时，与（※）矛盾； 当时，也与（※）矛盾； 当时，. 综上，实数的取值范围是. 14. 设函数11ln )(--+-=x a ax x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当2 1 0<（Ⅲ）当31 =a 时，设函数12 52)(2--=bx x x g ，若对于e x ,01（∈ ∀]，∈∃2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+ a a x x f ---=' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ， 11 )(-='x x f ，∴0 00001ln 11)(x x x x x f --= -=' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(2 2 e e -， （Ⅱ）22 1)(x a ax ax x f -++-= '2 2 )1)(1() 1)(1(x a a x x a x a ax x -- --=+---= ∵210<--a a
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