高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

(1)曲线在处的切线的斜率等于， 且切线方程为

例题、【2019高考新课标1， 理21】已知函数f（x）=.

(Ⅰ)当a为何值时， x轴为曲线 的切线；

【答案】（Ⅰ）

跟踪练习：

1、(2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b， g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)， 且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a， b， c， d的值；

解：(1)由已知得f(0)＝2， g(0)＝2， f′(0)＝4， g′(0)＝4.

而f′(x)＝2x＋a， g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， 

故b＝2， d＝2， a＝4， d＋c＝4.

从而a＝4， b＝2， c＝2， d＝2.

2、【2019高考新课标1， 理21】已知函数， 曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

解：（Ⅰ）

    由于直线的斜率为， 且过点， 故即

                            解得， 。

3、 (2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数， 曲线在点（1， 处的切线为. (Ⅰ)求；

【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为， 

由题意可得  ， 故           ……………6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

（一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论

例题：【2019高考江苏， 19】

    已知函数.

   （1）试讨论的单调性；

【答案】（1）当时，  在上单调递增；

当时，  在， 上单调递增， 在上单调递减；

当时，  在， 上单调递增， 在上单调递减．

当时， 时， ， 时， ， 

所以函数在， 上单调递增， 在上单调递减．

练习：1、已知函数.

⑴当时， 讨论的单调性；

答案：⑴， 

令

①当时， ， 当,函数单调递减；当， 函数单调递增.

②当时， 由， 即， 解得.

当时， 恒成立， 此时， 函数单调递减；

当时， ,时， 函数单调递减；

时， ， 函数单调递增；

时， ， 函数单调递减.

当时， 当,函数单调递减；

当， 函数单调递增.

综上所述：当时， 函数在单调递减， 单调递增；

当时,恒成立,此时， 函数在单调递减；

当时,函数在递减,递增,递减.

2、已知为实数， 函数， 函数， 令函数．

当时， 求函数的单调区间．

解：函数， 定义域为．

当时， ．

令， 得．         ……………………………………9分

①当， 即时， ．

∴当时， 函数的单调减区间为， ．………………11分

 ②当时， 解得．

   ∵， 

   ∴令， 得， ， ；

令， 得．              ……………………………13分

   ∴当时， 函数的单调减区间为， ， ；函数单调增区间为．      …………15分

 ③当， 即时， 由（2）知， 函数的单调减区间为及

2、根据判别式进行讨论

例题：【2019高考四川， 理21】已知函数， 其中.

（1）设是的导函数， 评论的单调性；

【答案】（1）当时， 在区间上单调递增，  在区间上单调递减；当时， 在区间上单调递增.

【解析】（1）由已知， 函数的定义域为， 

， 

所以.

当时， 在区间上单调递增，  

在区间上单调递减；

当时， 在区间上单调递增.

练习：  已知函数， ．

（1）求函数的单调区间；

解：函数的定义域为．

    ．

令， 得， 记． 

     （ⅰ）当时， ， 所以单调减区间为； …………5分

     （ⅱ）当时， 由得， 

        ①若， 则， 

由， 得， ；由， 得．

       所以， 的单调减区间为， ， 单调增区间为；       …………………………………………………………7分

②若， 由（1）知单调增区间为， 单调减区间为； 

       ③若， 则， 

       由， 得；由， 得．

       的单调减区间为， 单调增区间为． ……9分

综上所述：当时， 的单调减区间为；

               当时， 的单调减区间为， ， 单调增区间为；

             当时， 单调减区间为， 单调增区间为．          ………………………………………………………10分

2. 已知函数．

求函数的单调区间；

解：函数的定义域为， ． ……………1分

（1）当时， 在上恒成立， 

则在上恒成立， 此时在上单调递减． ……………4分

（2）当时， ， 

（ⅰ）若， 

由， 即， 得或； ………………5分

由， 即， 得．………………………6分

所以函数的单调递增区间为和， 

单调递减区间为．   ……………………………………7分

（ⅱ）若， 在上恒成立， 则在上恒成立， 此时 在上单调递增． ……………………………………………………………

3、含绝对值的函数单调性讨论

例题：已知函数.

（1）若a=1， 求函数在区间的最大值;

（2）求函数的单调区间；

（3）若恒成立， 求的取值范围

解：（1）若a=1, 则．

    当时, ,， 

    所以在上单调增, .    ……………2分

  （2）由于， ．

   （ⅰ）当时， 则， ， 

   令， 得（负根舍去）， 

    且当时， ；当时， ， 

    所以在上单调减， 在上单调增.……4分

（ⅱ）当时， 

①当时，  ,

  令， 得（舍）， 

若， 即, 则， 所以在上单调增；

若， 即, 则当时， ；当时， ， 所以在区间上是单调减， 在上单调增.                        ……………………………………………6分

②当时, ,

令， 得， 记， 

若， 即, 则， 故在上单调减；

若， 即, 

则由得， 且， 

当时， ；当时， ；当 时， ， 所以在区间上是单调减， 在上单调增；在上单调减.    …………………………………………8分

综上所述， 当时,单调递减区间是 ， 单调递增区间

是；

当时, 单调递减区间是， 单调的递增区间是

；

当时, 单调递减区间是(0, )和， 

单调的递增区间是和. ………………10分

（3）函数的定义域为．

  由， 得．    *

（ⅰ）当时， ， ， 不等式*恒成立， 所以；

（ⅱ）当时， ， ， 所以；         ………………12分

（ⅲ）当时， 不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．

令， 则．

因为， 所以， 从而．

因为恒成立等价于， 所以．

令， 则．

再令， 则在上恒成立， 在上无最大值．

综上所述， 满足条件的的取值范围是．     …………………………16分

2．设为实数， 函数

（2）求函数的单调区间

4、分奇数还是偶数进行讨论

例题：【2019高考天津， 理20已知函数， 其中.

(I)讨论的单调性；

【答案】(I) 当为奇数时， 在， 上单调递减， 在内单调递增；当为偶数时， 在上单调递增， 在上单调递减. (II)见解析； ()见解析.

(2)当为偶数时， 

当， 即时， 函数单调递增；

当， 即时， 函数单调递减.

所以， 在上单调递增， 在上单调递减.

5、已知单调区间求参数范围

例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)在区间（1， 2）是增函数， 求a的取值范围.

解：（1）， 的判别式△=36（1-a）.

（i）若a≥1， 则， 且当且仅当a=1， x=-1， 故此时f（x）在R上是增函数.

（ii）由于a≠0， 故当a<1时， 有两个根：， 

若0当x∈（x2， x1）时， ， 故f（x）在（x2， x1）上是减函数；

（2）当a>0， x>0时, ， 所以当a>0时， f（x）在区间（1， 2）是增函数.

若a<0时， f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且， 解得.

综上， a的取值范围是.

二、极值

（一）判断有无极值以及极值点个数问题

例题：【2019高考山东， 理21】设函数， 其中.

    （Ⅰ）讨论函数极值点的个数， 并说明理由；

（2）当 时，   

①当时，  ，  

所以， ， 函数在上单调递增无极值；

②当 时，  

设方程的两根为 

因为 

所以，  

由可得：

所以， 当时，  ， 函数单调递增；

当时，  ， 函数单调递减；

当时，  ， 函数单调递增；

因此函数有两个极值点．

（3）当 时， 

由可得：

当时，  ， 函数单调递增；

当时，  ， 函数单调递减；

因此函数有一个极值点．

综上：

当 时， 函数在上有唯一极值点；

当时， 函数在上无极值点；

当时， 函数在上有两个极值点；

例题：【2019高考安徽， 理21】设函数.

   （Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值， 有极值时求出极值；

【解析】

（Ⅰ）， .

    ， .

    因为， 所以.

    ①当时， 函数单调递增， 无极值.

    ②当时， 函数单调递减， 无极值.

    ③当， 在内存在唯一的， 使得.

    时， 函数单调递减；时， 函数单调递增.

    因此， ， 时， 函数在处有极小值.

（2）已知极值点个数求参数范围

例题：【14年山东卷（理）】 设函数（为常数， 是自然对数的底数）

（）当时， 求函数的单调区间；

（）若函数在内存在两个极值点， 求k的取值范围。

练习：1、【2019年天津卷（理）】

2、（2019湖南）（本小题满分13分）

已知常数， 函数. 

（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；

（Ⅱ）若存在两个极值点， 且， 求的取值范围.

【解析】（Ⅰ）,（*）

因为,所以当时,

当时,,此时， 函数在单调递增,

当时, （舍去）， 

当时， ；当时， .

故在区间单调递减,在单调递增的.

综上所述

当时,,此时， 函数在单调递增,

当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. 

（Ⅱ）由（*）式知， 当时， 函数不存在极值点， 因而要使得有两个极值点， 必有， 又的极值点只可能是和， 

且由的定义可知， 且， 所以， ， 解得， 此时， （*）式知,分别是的极小值点和极大值点， 而

      令， 由且知

当时, 当时,记 

    （ⅰ）当时， ， 所以

因此， 在上单调递减， 从而， 

故当时， 

    （ⅱ）当时， ， 所以

因此， 在上单调递减， 从而， 

故当时， 

    综上所述， 满足条件的的取值范围是为.

【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值， 不等式. 

（三）最值