2019年上海市普陀区高考数学二模试卷(解析版)

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（　　）

A.  B.  C.  D. 

2.在△ABC中，设三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成立的（　　）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

4.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最小值为（　　）

A.     B.     C.     D. 

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______

6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______

7.函数的定义域为______

8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中心，且其方向向量，则直线l的方程为______

9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|=______

10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______

11.设x、y均为非负实数，且满足，则6x+8y的最大值为______

12.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______

13.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c=______

14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底面ABCD的距离为______

15.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，则AD与平面ABC所成角大小为______（结果用反三角函数值表示）

16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17.如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．

（1）求圆锥的表面积；

（2）求二面角P-AB-O的大小（结果用反三角函数值表示）．

18.设函数．

（1）当x∈R时，求函数f（x）的最小正周期；

（2）设，求函数f（x）的值域及零点．

19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．

（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；

（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．

20.设数列{an}满足：a1=2，2an+1=t•an+1（其中t为非零实常数）．

（1）设t=2，求证：数列{an}是等差数列，并求出通项公式；

（2）设t=3，记bn=|an+1-an|，求使得不等式成立的最小正整数k；

（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有an＜an+1，当ap+1、at+1、aq+1依次成等比数列时，求t、p、q的值．

21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意一点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．

（1）设D（-4，2），求△DAB的面积；

（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；

（3）设点M满足，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．

1.【答案】D

【解析】

解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0），

∵焦距为，且椭圆经过点，

∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）

因此，椭圆的标准方程为：．

故选：D．

设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．

本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】

解：∵a2+b2=c2+ab，

∴cosC==，

∵0＜C＜π，

∴C=，

∴”是“a2+b2=c2+ab”成立的必要非充分条件，

故选：B．

先根据余弦定理求出C的大小，再根据充分条件和必要条件即可判断

本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题

3.【答案】C

【解析】

解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，

故①③正确，②错误．

故选：C．

根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．

本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．

4.【答案】B

【解析】

解：因为，x∈[-，-]，

所以x-]，

所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，

由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，

则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，

由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，

即m，故m的最小值为：，

故选：B．

由三角函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，

由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，得解．

本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．

5.【答案】{1，2}

【解析】

解：∵集合A={1，2，3}， 

B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}， 

∴A∩B={1，2}． 

故答案为：{1，2}．

先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】

【解析】

解：双曲线的一个顶点坐标（4，0），其一条渐近线方程为3x+4y=0，

所以所求的距离为：=．

故答案为：．

求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

7.【答案】[0，1）

【解析】

解：要使原函数有意义，则：；

∴0≤x＜1；

∴原函数的定义域为[0，1）．

故答案为：[0，1）．

可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．

考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．

8.【答案】y=x

【解析】

解：由曲线C的参数方程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中心即圆心为（1，1），

因为直线l的方向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，

根据点斜式可得直线l的方程为：y-1=x-1，即y=x，

故答案为：y=x．

将曲线C的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程，是一个圆，可得中心为圆心（1，1），根据直线l的方向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直角坐标方程．

本题考查了圆的参数方程，属中档题．

9.【答案】

【解析】

解：∵z=1+i是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，

∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，

则c=-2，d=2．

则|c+di|=|-2+2i|=．

故答案为：．

由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．

本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

10.【答案】3π

【解析】

解：由题意可知几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，左视图的面积为6，可得正视图是矩形，圆柱的高为3，

所以圆柱的体积为：12•π•3=3π．

故答案为：3π．

由题意求解圆柱的高，然后求解圆柱的体积．

本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．

11.【答案】40

【解析】

解：画出可行域

又z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），

所以当该直线经过点A时z取得最大值，

且解得点A的坐标为（0，5），

所以zmax=0+8×5=40．

故答案为：40．

先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中一条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．

本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．

12.【答案】0.3

【解析】

解：甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9， 

甲、乙和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3． 

故答案为：0.3．

利用互斥事件概率加法公式直接求解．

本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13.【答案】12

【解析】

解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1． 

∴lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc， 

又alga•blgb•clgc≥10⇔lg（alga•blgb•clgc）≥lg10， 

可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc， 

∴lg2a=lga，lg2b=lgb，lg2c=lgc， 

则a=10或1，b=10或1，c=10或1． 

由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1． 

∴a+b+c=12． 

故答案为：12．

由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，由alga•blgb•clgc≥10⇔lg（alga•blgb•clgc）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc，从而得到lg2a=lga，lg2b=lgb，lg2c=lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求．

本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．

14.【答案】2

【解析】

解：四棱锥P-ABCD中，

向量，，，

设底面ABCD的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，4，），

∴顶点P到底面ABCD的距离为：

d===2．

∴顶点P到底面ABCD的距离为2．

故答案为：2．

求出底面ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底面ABCD的距离．

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

15.【答案】arcsin

【解析】

解：∵四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，

∴BC⊥DC，

以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=BC=CD=1，

则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），

=（1，-1，-1），平面ABC的法向量=（1，0，0），

设AD与平面ABC所成角为θ，

则sinθ===，

∴θ=arcsin，

∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin．

故答案为：arcsin．

推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面ABC所成角大小．

本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

16.【答案】（-∞，-4）∪（0，+∞）

【解析】

解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数， 

则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数， 

f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2）， 

又由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2， 

解可得：x＜-4或x＞0， 

即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）； 

故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．

根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．

17.【答案】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，

底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．

∴圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

OP==2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

=（2，0，-2），=（0，2，-2），

设平面PAB的法向量=（x，y，z），

则，取z=1，得=（，，1），

平面ABO的法向量=（0，0，1），

设二面角P-AB-O的大小为θ，

则cosθ===，∴θ=arccos．

∴二面角P-AB-O的大小为arccos．

【解析】

（1）圆锥的表面积S=πr2+πrl，由此能求出结果． 

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-O的大小．

本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

18.【答案】解：（1）函数=sinxcosx+cos2x-cos2x+

=sin2x-•+=sin（2x-），

故它的周期为T=π．

（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，

故函数的值域．

令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．

【解析】

（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． 

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．

19.【答案】解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，

取x=0，得，则k=2400，

∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和y=15×=+，x≥0；

（2）+=+≥2=57.5，

当且仅当，即x=55时取等号．

∴当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．

【解析】

（1）由，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；

（2）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．

本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，是中档题．

20.【答案】解：（1）求证：t=2时，2an+1=2an+1，∴an+1-an=，∴{an}是等差数列，首项为2，公差为，

∴an=2+（n-1）×=．

（2）t=3时，2an+1=3an+1，an+1=an+，∴an+1-1=（an-1），又a1-1=1，

∴数列{an-1}是首项为1，公比为的等比数列，

∴an-1=（）n-1，∴an=（）n-1-1，

bn=|an+1-an|=×（）n-1，

b1+b2+b3+…+bk==1-（）k，

∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，

k的最小正整数值为10．

（3）t≠2时，由2an+1=tan+1得an+1=an+，得an+1-=（an-）

an-=（2-）•n-1，∴an=+（2-）•n-1，

∵an＜an+1，∴{an}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，

又因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，

ap+1、at+1、aq+1依次成等比数列

①若公比≠1，不妨设ap+1＜at+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，ap+1=2，at+1=a2=5，，q不是整数，不成立．

②若公比为1，则ap+1=at+1=aq+1，∴p=t=q=1，

综上，p=t=q=1．

【解析】

（1）t=2时易证数列{an}满足等差数列的定义，即可求出通项公式．

（2）构造含有an的数列为等比数列，即可求出an的通项公式，进而得到bn的通项公式，再将不等式转化为Sk即可求出k的最小正整数值．

（3）构造含有an的数列为等比数列，即可求出an的通项公式，再根据an＜an+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，ap+1、at+1、aq+1依次成等比数列时，分类讨论得到p，q的值．

本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．

21.【答案】解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线方程为y2=4x，

即y=±2，y′=±．

设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，

∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，

故切线DA的方程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，

切线DB的方程为：y2y=2x+2x2，

∵D（-4，2）在两切线上，∴，

故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，

∴直线AB的方程为x-y-4=0，

联立方程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，

∴|AB|==4．

又D到直线AB的距离为d==5，

∴S△DAB==．

（2）证明：如下图所示，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的方程为y1y=p（x+x1），

即，同理可得直线BD的方程为，

联立直线AD和BD的方程，解得，

由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；

（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意得M（x1+x2，y1+y2），

则MN的中点Q坐标为（，），

kAB===，

设直线AB的方程为y-y1=（x-x1），

由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，

代入得y3=x3．

若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，

因此y3=0或y3=2y0．

即N（0，0）或N（，2y0）．

①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．

②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），

kMN==，

又kAB===，

由MN⊥AB，

所以kAB•kMN=•=-1，

即y12+y22=-4p2，矛盾．

对于N（，2y0）．

因为M（，2y0），

 此时直线MN平行于y轴，

又kAB=，

所以直线AB与直线MN不垂直，与题设矛盾，

所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．

综上所述，仅存在一点D（-2p，0）适合题意．

【解析】

（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值； 

（2）求得AD，BD的方程和交点，即可得证； 

（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．