2018年-海南数学(理科)高考试题及参

参:

一、选择题

1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B

8.C

9.C 10.A 11.C 12.D

二、填空题

13.2y x =

14.9 15.12- 16.

三、解答题

17. (12分)

解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.

由17a =-得d =2.

所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.

（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--.

所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ30.413.519226.1y

=-+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

ˆ9917.59256.5y

=+⨯=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至

2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变

化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.

设1221(,),(,)A y x y x B ，

由2(1),

4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.

2

16160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以1222

44||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22448k k

+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则

00220005,(1)(1)16.2

y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22

(11)(6)144x y -++=.

20.(12分)

解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥

，且OP =连结OB .

因为2AB BC AC ==

，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，122

OB AC ==.

由222OP OB PB +=知PO OB ⊥.

由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .

（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),3),O B A C P AP -=u u u r 取平面PAC 的法

向量(2,0,0)OB =u u u r .

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r .

设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .

由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n

得20(4)0

y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩

，可取,)a a =--n ，

所以cos ,OB =uu u r n

由已知得|cos ,|2OB =uu u r n .

2.解得4a =-（舍去），43a =.

所以4()333=--n .

又(0,2,PC =-u u u r

，所以cos ,4

PC =uu u r n . 所以PC 与平面PAM

所成角的正弦值为

4

. 21．（12分）

【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．

设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．

而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．

（2）设函数2()1e x h x ax -=-．

()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．

（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；

（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．

所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e

a h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①若(2)0h >，即2e 4

a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0h =，即2e 4

a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0h <，即2e 4

a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2

e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4

a =． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，

当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα

++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．

（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．