一次函数与图形及答案(精)

又∵M为线段OB的中点，∴M（0，6）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线AM的解析式y=﹣x+6；

（2）设点P的坐标为：（x，﹣x+6），∴AP==|x﹣6|，

过点B作BH⊥AM于点H，∵OA=OM，∠AOM=90°，∴∠AMO=45°，

∴∠BMH=45°，∴BH=BM•sin45°=6×=3，

∵S△ABM=S△AOM，S△AOB=OA•OM=×6×6=18，S△ABP=AP•BH=×|x﹣6|×3，

∴×|x﹣6|×3=18，解得：x=0或12，故点P的坐标为：（0，6）或（12，﹣6）．

（3）当OA是正方形的一条边，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（6，6）；

当OA是正方形的一条对角线，以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形时，点D的坐标为（3，﹣3）．

故直线y=﹣x+1平分∠ODC∵FA′⊥DC DO⊥OB∴点A的坐标为（1，1）．

（Ⅱ）如图2设直线y=x+b与OD交于点E，与OB交于点F连接A′O，则OE=b，OF=2b，

设点A′的坐标为（a，1）∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°∴∠DOA′=∠OFE，

在△DOA′与△OFE中，∴△DOA′∽△OFE（AA）∴=即=∴a=∴点A′的坐标为（，1）连接A′E，则A′E﹣OE=b在直角三角形DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2即b2=（）2+（1﹣b）2解得b=；

（Ⅲ）在题中图3中：﹣2≤k≤﹣1；图4中：﹣1≤k≤﹣2+；图5中：﹣2+≤k≤0．

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．由（1）知，OA=8，则A（8，0）．

∵点A、C都在直线MN上，∴，解得，，∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=﹣x+6上，∴设P（a，﹣a+6）

当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：

①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；

②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=，解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；③当PB=BC时，（a﹣8）2+（﹣a+6﹣6）2=，解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．

∵点A（﹣3，0）与C（3，4）在直线y=kx+b（k≠0）上，∴，解得，∴一次函数的解析式为．

（2）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，

∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，

∴AB=BD2，∵∠D1BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠EBD1，∵在△BED1和△AOB中，∴△BED1≌△AOB（AAS），∴BE=AO=3，D1E=BO=2，即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA=BO=2，D2F=AO=3，∴点D的坐标为（﹣5，3）．综上所述：点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）．

在Rt△AOB中，AB=，∠DBA=30°

∴∠DCA=30°，OC=OA+AB=6

Rt△DOC中，OD=OCtan∠DCO=2

∴C（6，0），D（0，﹣2）

设直线CD的解析式为：y=kx﹣2

∴0=6k﹣2，解得k=

所以直线CD的解析式为．

∴将点A、B的坐标代入y=kx+b得，

 k=﹣2，b=4，

∴解析式为：y=﹣2x+4；

当x=1时，y=﹣2×1+4=2，所以点在函数图象上．

（2））△PCD的面积不发生变化；

∵A（2，0），B（0，4），C、D是线段OA、AB的中点，

∴C（1，0）、D（1，2），

∴CD=2，

又∵点P在y轴上运动，CD∥y轴，

∴点P到y轴的距离总是1，及△PCD的CD边上的高为n=1，

∴三角形PCD的面积s=CD．h=×2×1=1，

∴△PCD的面积不发生变化；

（3）△PCD的周长发生变化．

∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，

∴点C的坐标为（1，0），

则C关于y轴的对称点为C′（﹣1，0），

又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，

∴点D的坐标为（1，2），

连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得：，

∴y=x+1是DC′的解析式，

∵x=0，∴y=1，

即P（0，1）．

∵PC+PD的最小值=C′D，

∴由勾股定理得C′D=2，

∵△PCD的周长的最小值为C′D+CD，CD=2，

∴△PCD的周长的最小值为+2；

（4）P（0，1）或P（0，）或P（0，）或P（0，）或P（0，）．

故答案为：y=﹣2x+4．

∴y=0时，x=6，则A点坐标为：（6，0），

x=0时，y=8，则B点坐标为：（0，8）；

∴BO=8，AO=6，

∴AB==10；

（Ⅱ）∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，

∴BM=B′M，AB=AB′=10，

∴B′M+OM=BO=8，

OB′=AB′﹣OA=10﹣6=4，

∴△B′OM的周长为：MB′+MO+OB′=8+4=12；

（Ⅲ）设MO=x，则MB=MB′=8﹣x，

在Rt△OMB′中，

OM2+OB′2=B′M2，

∴x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

故M点坐标为：（0，3）．

故答案为：10；12．

∵四边形ABCD为矩形

∴∠B=90°

BG===

∴G点的坐标为（3，4﹣）；

（2）设直线EF的解析式是y=kx+b

在Rt△BFG中，cos∠BFG==

∴∠BFG=60°

∴∠AFE=∠EFG=60°

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2

∴E点的坐标为（0，4﹣2）

又F点的坐标是（2，4）

∴

解得k=，b=4﹣2；

∴直线EF的解析式为y=x+4﹣2；

注：

求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；

求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）；

求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4﹣2，所以E（0，4﹣2）．

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．

过M1点作M1H⊥x轴于点H，

∵M1N1∥FG，

∴∠HN1M1=∠HQF，

又∵AB∥OQ，

∴∠HQF=∠BFG，

∴∠HN1M1=∠BFG

又∵∠M1HN1=∠B=90°，M1N1=FG，

∴△M1HN1≌△GBF，

∴M1H=GB=，即yM1=．

由直线EF解析式y=x+4﹣2，求出xM1=3﹣．

∴M1（3﹣，）；

②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．

仿照与①相同的办法，可求得M2（1﹣，﹣）；

③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．

过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．

∴∠M3HF=∠GCN3=90°，∠M3FH=∠GN3C，M3F=GN3，

∴△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4﹣，所以M3的纵坐标为8﹣；

代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+．

∴M3（1+，8﹣）．

综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点M的坐标为：M1（3﹣，），M2（1﹣，﹣），M3（1+，8﹣）．

∵=，

∴OB=，则B的坐标是：（，0），

把B的坐标代入y=kx﹣3，得：k﹣3=0，解得：k=2；

（2）OB=，

则S=×（2x﹣3）=x﹣；

（3）①根据题意得：x﹣=，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）；

②OA==3，

当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（﹣3，0）或（3，0）；

当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；

当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（，），

与OA垂直的直线的斜率是：﹣1，设直线的解析式是：y=﹣x+b，把（，）代入得：=﹣+b，

解得：b=3，

则直线的解析式是：y=﹣x+3，令y=0，解得：x=3，则P的坐标是（3，0）．

故P的坐标是：（﹣3，0）或（3，0）或（6，0）或（3，0）．

∵OB=OA，

∴∠BAO=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵OC=OA=4，

∴C点坐标﹙4，0﹚，

设直线BC解析式为y=kx﹢b，

，

∴，

∴直线BC的解析式为y=﹣；（2分）

﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．

∵，

∴，

∴QH=t

∴S△APQ=AP•QH=t•t=t2﹙0＜t≤4﹚，（2分）

同理可得S△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，如图当Q与B重合时，四边形AMNQ为菱形，此时N坐标为（4，0）

其它类似还有（﹣4，8）或（﹣4，﹣8）或（﹣4，）．（4分）

∴x1=4，x2=2（1分），

∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B，

∴0A=2，0B=4（1分），

∴A（0，2），B（﹣4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，

∴AC=5，

∴OC=OA+AC=2+5=7，

∴C（0，7）（1分），

∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，

∴∠PBD=∠OCD，

∵∠BOA=∠COD=90°，

∴△BOA∽△COD，

∴=，

∴OD===（1分），

∴D（，0），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

把C（0，7），D（，0）分别代入得：，

∴（1分），

∴yCD=﹣2x+7（1分）；

（3）存在，

∵A（0，2），B（﹣4，0），

∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，

∴，

解得：，

故直线AB的解析式为：y=x+2，

将直线AB与直线CD联立，

解得：，

∴P点坐标（2，3），

∵D（，0），B（﹣4，0），

∴BD=7.5，

当PM1BD是平形四边形，

则BD=PM 1=7.5，

∴AM 1=5.5，

∴M1（﹣5.5，3），

当PBDM2是平形四边形，

则BD=PM 2=7.5，

∴AM 2=9.5，

∴M2（9.5，3），

P到x轴距离等于M3到x轴距离，故M3的纵坐标为﹣3，

∵BE=DF=BD﹣DE=6，

∴FO=6﹣3.5=2.5，

∴M3的横坐标为﹣2.5，

∴M3的坐标为（﹣2.5，﹣3）；

综上所述M点的坐标为：M1（﹣5.5，3），M2（9.5，3），M3（﹣2.5，﹣3）（3分）．

注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分．

∴，

解得：，

∴A点坐标为：（3，4）；

∵y=﹣x+7=0，

解得：x=7，

∴B点坐标为：（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4﹣t，BR=t，OR=7﹣t，

∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t=16，

∴t2﹣8t+12=0，

解得：t1=2，t2=6（舍去），

当4≤t＜7时，S△APR=AP×OC=2（7﹣t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；

综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA到直线l交于一点D，当l与AB相交于Q，

∵一次函数y=﹣x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，

∴NO=OB，

∴∠OBN=∠ONB=45°，

∵直线l∥y轴，

∴RQ=RB，CD⊥L，

当0≤t＜4时，如图1，

RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4﹣t），AC=3，PC=4﹣t，

∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，

∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，

∴9+（4﹣t）2=2（4﹣t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），

当AP=PQ时 32+（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t=4 （舍去）

 当PQ=AQ时，2（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t1=1+3（舍去），t2=1﹣3（舍去）

当4≤t＜7时，如图（备用图），过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4，

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t﹣4，AP=7﹣t，

由cos∠OAC==，

得AQ=（t﹣4），

若AQ=AP，则（t﹣4）=7﹣t，解得t=，

当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=AP，

得t﹣4=（7﹣t），

解得：t=5，

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，

AF=AQ=×（t﹣4），

在Rt△APF中，由cos∠PAF==，

得AF=AP，

即×（t﹣4）=（7﹣t），

解得：t=，

综上所述，当t=1、5、、秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．

∴G点为OB的中点，

∵OB=，

∴G（，0）．

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，

在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=，

∴cos30°==，

即AB=×=4，

又∵CD垂直平分AB，

∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=BC=1，BH=，

∴OH=﹣=，

∴C（，﹣1），

∵∠DGO=60°，

∴OG=OB=，

∴OD=tan60°=4，

∴D（0，4），

设直线CD的解析式为：y=kx+b，则，解得：

∴y=﹣x+4；

（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．

①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，

设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°，

∴OE=2，PE=2，

∴Q（2，4﹣2）．

②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，

延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°，

∴OF=2，PF=2，

∴QF=4+2

∴Q（﹣2，4+2）．

③如图，当PD=DQ=QO=OP=时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，

∴MQ=DQ=

∴Q（，2）．

④如图，当OD=OQ=QP=DP=4时，四边形DOQP为菱形，

设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ=∠ODQ=30°，

在Rt△ONQ中，NQ=OQ=2，

∴ON=2，

∴Q（2，﹣2）；

综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4﹣2），（﹣2，4+2），（，2），（2，﹣2）；

当y=2时，，．

所以直线AB与CD交点的坐标为．（2分）

（2）①当0＜t＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．

过点M作MN⊥OA，垂足为N．

由△AMN∽△ABO，得．

∵AO=3，BO=4，

∴AB==5，

∴．

∴AN=t．（4分）

∴△MPH的面积为．

当3﹣2t=1时，t=1．（5分）

当＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，

△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积．

过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F．

FM=AG﹣AH=AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）=．

．

由△HPE∽△HFM，得．

∴．

∴．（8分）

∴△PEH的面积为．

当时，．

经检验，t=是原方程的解，

综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或．（9分）

②BP+PH+HQ有最小值．

连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．

∴BP=CH．

∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2．

当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小．（11分）

∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（﹣6，﹣4），

∴直线CQ的解析式为y=x+2，

∴点H的坐标为（﹣2，0）．因此点P的坐标为（﹣2，2）．（12分）