历年文科高考椭圆题 带解析

 强化训练当堂巩固

1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(    ) 

A.        B.        C.        D. 

答案:B 

解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 

又 

所以. 

所以.所以. 

2.已知椭圆0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是(    ) 

A.    B.       C.    D. 

答案:D 

解析:对于椭圆,∵,则, 

∴a=2c.∴. 

3.已知椭圆0)的左、右焦点分别为、若椭圆上存在一点P使则该椭圆的离心率的取值范围为     . 

答案: 

解析:因为在△中,由正弦定理得 

则由已知,得即a||=c||.  

由椭圆的定义知||+||=2a, 

则||+||=2a,即|| 

由椭圆的几何性质知||所以解得或. 

又故椭圆的离心率. 

4.椭圆的左、右焦点分别为、点P在椭圆上,若||=4,则||=     ;的大小为        . 

答案:2  120 

解析:∵ 

∴. 

∴||. 

又||=4,||+||=2a=6, 

∴||=2. 

又由余弦定理,得cos 

∴,故应填2,120. 

5.已知椭圆0)的离心率连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. 

(1)求椭圆的方程; 

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0). 

①若|AB|求直线l的倾斜角; 

②若点在线段AB的垂直平分线上,且=4.求的值. 

解:(1)由得.再由解得a=2b. 

由题意可知即ab=2. 

解方程组  得a=2,b=1. 

所以椭圆的方程为. 

(2)①由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为直线l的斜率为k.

则直线l的方程为y=k(x+2). 

于是A,B两点的坐标满足方程组 消去y并整理,得 

. 

由得.从而. 

所以|AB|. 

由|AB|得. 

整理得即解得. 

所以直线l的倾斜角为或. 

②设线段AB的中点为M,由①得M的坐标为. 

以下分两种情况: 

(ⅰ)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,

于是.

由=4,得. 

(ⅱ)当时,线段AB的垂直平分线方程为 . 

令x=0,解得. 

由  

整理得.故 

所以. 

综上或.

课后作业巩固提升

见课后作业A 

题组一  椭圆的离心率问题 

1.椭圆0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(    ) 

A.    B. 

C.    D. 

答案:D 

解析:|AF|而|PF| 

所以 

即解得. 

2.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是(    ) 

A.    B. 

C.    D. 

答案:C 

解析:根据题意:1=0,又∴. 

3.设椭圆n>0)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为则此椭圆的方程为 (    ) 

A.    B. 

C.    D. 

答案:B 

解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由可得m=4,∴.故选B. 

题组二  椭圆的定义 

4.设P是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则||+||等于(    ) 

A.4    B.5     

C.8    D.10 

答案:D 

解析:因为a=5,所以||+||=2a=10. 

5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为的点P的个数为(    ) 

A.1    B.2    C.3    D.4 

答案:D 

解析:联立方程组  消去y整理解得: 或  |AB| 

结合图象知P的个数为4. 

题组三  椭圆的综合应用 

6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为      . 

答案: 

解析:6,b=3,则所求椭圆方程为. 

7.已知、是椭圆C:0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△的面积为9,则b=       . 

答案:3 

解析:依题意,有  可得即∴b=3. 

8.在平面直角坐标系xOy中为椭圆0)的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为       . 

答案: 

解析:直线的方程为:; 

直线的方程为:;二者联立解得点 

则OT中点在椭圆0)上, 

10e-3=0, 

解得. 

9.已知椭圆C:的两焦点为点满足则||+||的取值范围为,直线与椭圆C的公共点个数为       . 

答案:  0 

解析:延长交椭圆C于点M,故||||+||<||+||=2a, 

即||+||; 

当时直线为x=与椭圆C无交

点;  

当时,直线为代入中有

.  

∵ 

∴直线与椭圆无交点. 

10.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且则椭圆C的离心率为      . 

答案: 

解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,

设D(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y),  

即  解得  . 

由可得||||  ① 

又由椭圆第二定义知,||.  ② 

由①②解得即∴. 

11.如图,椭圆C:的顶点为焦点为||

. 

(1)求椭圆C的方程; 

(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,||=1.是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 . 

解:(1)由||知  ① 

由知a=2c,  ② 

又  ③ 

由①②③,解得故椭圆C的方程为. 

(2)设A,B两点的坐标分别为假设使成立的直线l存在, 

①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m , 

由l与n垂直相交于P点且||=1得 

即. 

由得. 

将y=kx+m代入椭圆方程,得 

由求根公式可得  ④ 

.  ⑤ 

将④⑤代入上式并化简得 

. ⑥ 

将代入⑥并化简得矛盾 . 

即此时直线l不存在. 

②当l垂直于x轴时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1, 

则A,B两点的坐标为或(-1 

当x=1时;  

当x=-1时 

∴此时直线l也不存在. 

综上可知,使成立的直线l不存在 . 

12.如图,已知椭圆（a>b>0)过点离心率为左 、右焦点分别为F 、F.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A 

(1)求椭圆的标准方程. 

(2)设直线,PF的斜率分别为,k. 

(ⅰ)证明:. 

(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA k,k,k,k满足 ?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由. 

解:(1)因为椭圆过点 

所以. 

又 

所以1. 

故所求椭圆的标准方程为. 

(2)(ⅰ)证明:方法一:由于,F,PF的斜率分别为,k且点P不在x轴上, 

所以. 

又直线的方程分别为 

联立方程解得  

所以. 

由于点P在直线x+y=2上, 

所以. 

因此 

即结论成立. 

方法二:设则. 

因为点P不在x轴上,所以. 

又 

所以. 

因此结论成立. 

(ⅱ)设.  

联立直线与椭圆的方程得  

化简得 

因此 

由于OA,OB的斜率存在, 

所以因此. 

因此 

. 

相似地,可以得到  

故 

. 

若须有或. 

①当时,结合(ⅰ)的结论,可得,所以解得点P的坐标为(0,2); 

②当时,结合(ⅰ)的结论,解得或此时不满足舍去),此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得. 

因此. 

综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0.