第四章向量组的线性相关性作业及答案

（一）填空题(20分)

1．设则      

时，线性相关。

2．设则     时，线性无关。

3．已知向量组，则该向量组的秩是          。

4．维单位向量组均可由向量组线性表出，则向量个数       。

5．已知，则秩          。

6．设三元线性方程组有三个特解,且，

，则的通解为            。

7．设则          。

8．向量组的一个最大无关组是            。

9．若，则向量组线性            。

10．设方程组的基础解系是及，则方程组的基础解系是            。

（二）选择题(15分)

1．已知是齐次线性方程组的基础解系，那么基础解系还可以是（     ）

(A)               (B) 

(C)          (D) 

2．设矩阵的秩，为可逆矩阵，下列结论中正确的是（ ）

(A)的任意个列向量线性无关

(B)的任意阶子式不等于零

(C)              

(D) 存在个列向量线性无关

3．已知维向量组与维向量组有相同的秩，则下列说法错误的是（ ）

(A) 如果,则与等价

(B) 当时，与等价

(C) 当可由线性表出时，与等价               

(D) 当时，与等价

4．设矩阵，且,中元素的代数余子式，则齐次线性方程组的每一个基础解系中含有（      ）个线性无关的解向量。

(A) 1            (B)             (C)             (D) 

5．已知维向量组与维向量组，若，则下列条件中不能判定是的最大无关组的是（ ）

(A)，且可由线性表出

(B)，且与是等价向量组

(C)，且线性无关               

(D) 

（三）综合题（65分）

1．已知其中

求。（5分）

2．设矩阵，求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示出来。（10分）

3．设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关。（10分）

4．已知三维向量空间的一个基：； 

（15分）

（1）证明也是的一个基；

（2）求由基到基的过渡矩阵；

（3）若向量在基下的坐标为，求在基下的坐标。

5．设为矩阵，证明存在非零矩阵，使的充分必要条件是。（10分）

6．取何值时，线性方程组有唯一解，无解，无穷多解？且在有无穷多解时求其通解。（15分）

自测题参：

（一）1．   2．任意实数    3．    4．   5．   6． 

7．  ． ．无关 ．， 

（二）1．(B)    2．(C)     3．(B)     4．(A)      5．(A)

（三）1． 

2．为列向量组的一个最大无关组，且

3．证明略。

4．（1）证明略。

  （2）由基到基的过渡矩阵为

（3）在基下的坐标为

5．提示：的列向量为齐次线性方程组的解向量。

6．当且时，有唯一解；当或时，无解；当时，有无穷多解，通解为，为任意常数。