2007年江西高考理科数学

2．（　　）Ａ．等于        Ｂ．等于        Ｃ．等于        Ｄ．不存在

3．若，则等于（　　）Ａ．        Ｂ．        Ｃ．    Ｄ． 

4.展开式中,各项系数和与各项二项式系数和之比,=Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ. 

5．若0＜x＜π/2，则下列命题中正确的是（　　）

Ａ．        Ｂ．     Ｃ．     Ｄ． 

6．若集合，，则中元素的个数为（　　）Ａ．9            Ｂ．6            Ｃ．4            Ｄ．2

7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足，以下命题中，错误的命题是（　　）

Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面

Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为

8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）

Ａ必在圆内Ｂ必在圆上Ｃ必在圆外Ｄ三种情形都可能

10.将一骰子连抛三次,向上点数依次成等差数列的概率为（　）Ａ．1/9Ｂ．1/12Ｃ．1/15Ｄ．1/18

11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）Ａ．-1/5            Ｂ．0            Ｃ．1/5            Ｄ．5

12．设在内单调递增，，则是的（　　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要

13．设函数，则其反函数的定义域为                ．

14．已知数列对于任意，有，若，则    

15．如图,在△ABC中,O是BC中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N, ,，m+n值为    ______.

16.设有一组圆.四个命题:Ａ.存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ.存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ.存在一条定直线与所有的圆均不相交Ｄ.所有的圆均不经过原点  其中真命题代号是    ______

17．已知函数在区间内连续，且．（1）求实数和的值；（2）解不等式．

18． 如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

19.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次,两次烧制过程相互.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;（2）经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望．

20.右图是一直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知,，，,.（1）设点是的中点，证明：平面;（2）求二面角的大小;（3）求此几何体的体积．

21．设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

22．设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；（3）求数列的通项．

1-5．CBACD 6-10．CDAAB 11-12BB 13． 14．4    15．2    16．BD 

17．解：（1）因为，所以，由，即，．

又∵在处连续，所以，即k=1．

（2）由（1）得：由得，

当时，解得．当时，解得，

所以的解集为．

18．解：（1）将，代入函数得，

∵，所以．又∵，，，∴，

因此．

（2）∵点，是的中点，,∴点的坐标为．

又∵点在的图象上，∴．

∵，所以，

从而得或．即或．

19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，∴，

故．

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则

，

∴，，

，．

于是，．

20．解法一：（1）证明：作交于，连．

则．∵是的中点，∴．

则是平行四边形，因此有．

平面且平面，则面．

（2）如图，过作截面面，分别交，于，．

作于，连．

∵面，所以，则平面．

又∵，，．

∴，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．

∵，所以，故，

即：所求二面角的大小为．

（3）∵，∴．

．

所求几何体体积为．

解法二：

（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则

A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因为是的中点，所以，．

易知，是平面的一个法向量．

∵，平面，所以平面．

（2），，

设是平面的一个法向量，则

则，得： 

取，．

显然，为平面的一个法向量．

则，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角的大小是．（3）同解法一．

21．解法一：（1）在中，，即，

，即（常数），

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

（2）设， 

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

∴，．

于是：．

∵，且在双曲线右支上，∴

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）设，，的中点为．

①当时，，∵，∴；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

∴．

于是由得

∵，∴，又，解得：．由①②知．

22．解：（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

∵k≥2时, ,∴.

k-1≥1,∴．

又，∴．故，即时,成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　　　　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．