2021年新高考数学模拟试卷(21)

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）若M＝{y|y＝2x﹣1}，P＝{x|y}，则M∩P＝（　　）

A．{y|y＞1}    B．{y|y≥1}    C．{y|y＞0}    D．{y|y≥0}

2．（5分）若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（　　）

A．﹣3i    B．﹣3+i    C．3+i    D．3﹣i

3．（5分）已知k∈Z，则k＞0是函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：

则下列说法错误的是（　　）

A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况    

B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加    

C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质    

D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%

5．（5分）一个扇形的面积是1cm2，它的半径是1cm，则该扇形圆心角的弧度数是（　　）

A．    B．1    C．2    D．2sin1

6．（5分）已知（1+x）5＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a3＝（　　）

A．﹣40    B．40    C．10    D．﹣10

7．（5分）不解三角形，下列判断中不正确的是（　　）

A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解    

B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解    

C．a＝6，b＝9，A＝45°，无解    

D．b＝9，c＝10，B＝60°，有两解

8．（5分）已知函数f（x）＝|log2x|，（x≤2），若a≠b，且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（2，+∞）    D．[1，2]

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）椭圆C：的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是（　　）

A．1    B．3    C．4    D．8

10．（5分）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是（　　）

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为    

B．答对1题的概率为    

C．答对2题的概率为    

D．合格的概率为

11．（5分）已知点P是双曲线E：的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（　　）

A．点P的横坐标为    

B．△PF1F2的周长为    

C．∠F1PF2小于    

D．△PF1F2的内切圆半径为

12．（5分）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（　　）

A．CE∥D1F    B．平面AFD∥平面B1EC1    

C．AB1⊥EF    D．平面AED⊥平面ABB1A1

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）设，，且∥，则cos2α＝　   　．

14．（5分）已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px上，则实数p的值为　   　．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正方形OABC，其中OA＝a（a＞1），函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，则当AQ+CP最小时，a的值为　   　．

16．（5分）若函数和g（x）＝3cos（2x+φ）的图象的对称轴完全相同则当x∈[0，π]，关于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集为　   　．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求角A的值；

（2）若3sinB＝2sinC，，求b，c．

19．（12分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：

（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；

（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．

20．（12分）上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；

（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X≥2的概率．

附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．

21．（12分）如图，已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点且OA⊥OB．

（1）若OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值

（2）求△AOB面积的最小值

22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣ax+lnx．

（1）若当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：．

2021年新高考数学模拟试卷（21）

参与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）若M＝{y|y＝2x﹣1}，P＝{x|y}，则M∩P＝（　　）

A．{y|y＞1}    B．{y|y≥1}    C．{y|y＞0}    D．{y|y≥0}

【解答】解：由M中y＝2x﹣1＞0，得到M＝{y|y＞0}，

由P中y，得到x﹣1≥0，即x≥1，

∴P＝{x|x≥1}，

则M∩P＝{y|y≥1}，

故选：B．

2．（5分）若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（　　）

A．﹣3i    B．﹣3+i    C．3+i    D．3﹣i

【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，

∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，

则z1＝﹣3+i．

故选：B．

3．（5分）已知k∈Z，则k＞0是函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增的是（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当k＞0时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；反之，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，未必有k＜0，如k＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．

故“k＞0“⇒“函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增“；“函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增“推不出“k＞0“；

∴k＞0是函数f（x）＝（k+1）•x2k+1在（﹣∞，+∞）上单调递增的充分不必要条件．

故选：A．

4．（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：

则下列说法错误的是（　　）

A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况    

B．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加    

C．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质    

D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%

【解答】解：根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况，

同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A、B对；

而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C错；

2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%+54.7%＞60%，故D对，

故选：C．

5．（5分）一个扇形的面积是1cm2，它的半径是1cm，则该扇形圆心角的弧度数是（　　）

A．    B．1    C．2    D．2sin1

【解答】解：∵扇形的面积为1，半径为1，

∴Sl×1＝1，即扇形的弧长l＝2，

则弧度数α2，

故选：C．

6．（5分）已知（1+x）5＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a3＝（　　）

A．﹣40    B．40    C．10    D．﹣10

【解答】解：已知[2﹣（1﹣x）]5，

则a3•（﹣1）3•22＝﹣40，

故选：A．

7．（5分）不解三角形，下列判断中不正确的是（　　）

A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解    

B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解    

C．a＝6，b＝9，A＝45°，无解    

D．b＝9，c＝10，B＝60°，有两解

【解答】解：对于选项A：a＝7，b＝14，A＝30°，

所以a＝bsinA＝7，故三角形有一解．故错误．

对于选项B：a＝30，b＝25，A＝150°，由于a＞b所以三角形有一解．

对于选项C：a＝6，b＝9，A＝45°，由于a＜bsinA所以三角形无解．

对于选项D：b＝9，c＝10，B＝60°，由于c＞bsinB，所以三角形有两解．

故选：A．

8．（5分）已知函数f（x）＝|log2x|，（x≤2），若a≠b，且f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（2，+∞）    D．[1，2]

【解答】解：因为f（a）＝f（b），所以|log2a|＝|log2b|，

不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b≤2，∴log2a＝﹣log2b，log2a+log2b＝0，

∴log2（ab）＝0，

∴ab＝1，

又a＞0，b＞0，且a≠b，

∴（a+b）2＞4ab＝4，

∴a+b＞2，

a+b＝b，因为函数y＝x，x∈（1，2]是增函数，函数的最大值为：f（2），

所以a+b，

所以a+b∈．

故选：B．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）椭圆C：的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是（　　）

A．1    B．3    C．4    D．8

【解答】解：椭圆C：，可得a＝4，b＝2，c＝2，

所以椭圆C：的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，

则2＝a﹣2≤|PF|≤a+c＝6，|PF|的值可能是3，4．

故选：BC．

10．（5分）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是（　　）

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为    

B．答对1题的概率为    

C．答对2题的概率为    

D．合格的概率为

【解答】解：某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道，

现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．

在A中，答对0题的概率为：P0，答对3题的概率为：P3，

∴对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；

在B中，答对1题概率为p1，故B错误；

在C中，答对2题的概率为p2，故C正确；

在D中，合格的概率为P，故D正确．

故选：CD．

11．（5分）已知点P是双曲线E：的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有（　　）

A．点P的横坐标为    

B．△PF1F2的周长为    

C．∠F1PF2小于    

D．△PF1F2的内切圆半径为

【解答】解：设△F1PF2的内心为I，连接IP，IF1，IF2，

双曲线E：的a＝4，b＝3，c＝5，

不妨设P（m，n），m＞0，n＞0，

由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4，

由1，可得m，故A正确；

由P（，4），且F1（﹣5，0），F2（5，0），

可得k，k，

则tan∠F1PF2∈（0，），

则∠F1PF2，故C正确；

由|PF1|+|PF2|，

则△PF1F2的周长为10，故B正确；

设△PF1F2的内切圆半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•|F1F2|•4，

可得r＝40，解得r，故D正确．

故选：ABCD．

12．（5分）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（　　）

A．CE∥D1F    B．平面AFD∥平面B1EC1    

C．AB1⊥EF    D．平面AED⊥平面ABB1A1

【解答】解：如图，在D1B，A1C上分别取点E，F，

∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则四边形A1BCD1为矩形，

∵∠FD1C+∠ECD1＜∠A1D1C+∠BCD1＝180°，∴CE与D1F不平行，故A错误；

不妨取F与A1重合，E与O重合，此时平面平面AFD与平面B1EC1相交，故B错误；

AB1⊥A1B，AB1⊥BC，且A1B∩BC＝B，则AB1⊥平面A1BCD1，则AB1⊥EF，故C正确；

AD⊥平面ABB1A1，而AD⊂平面AED，则平面AED⊥平面ABB1A1，故D正确．

故选：CD．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）设，，且∥，则cos2α＝　0　．

【解答】解：由，，且∥，

则sinαcosα0，

所以sinαcosα，

所以sin2α＝1；

所以2α2kπ，k∈Z；

所以cos2α＝0．

故选：0．

14．（5分）已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px上，则实数p的值为　　．

【解答】解：双曲线的右准线x，渐近线yx，

双曲线的右准线与渐近线的交点（1，），

交点在抛物线y2＝2px上，

可得：3＝2p，

解得p．

故答案为：．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正方形OABC，其中OA＝a（a＞1），函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，则当AQ+CP最小时，a的值为　　．

【解答】解：点Q在函数y＝x上，则，点P在函数y＝3x2上，且满足，则，

∴，当且仅当“，即”时取等号，

由知，当AQ+CP最小时，a的值为．

故答案为：．

16．（5分）若函数和g（x）＝3cos（2x+φ）的图象的对称轴完全相同则当x∈[0，π]，关于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集为　[，]　．

【解答】解：由两函数图象对称轴相同可得两函数的周期相同，得，

所以，

则f（x）﹣1≥0，x∈[0，π]，

即为，

解得．

故答案为：

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）∵，

当n＝1时，S1＝a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，

上式对n＝1也成立，

则an＝2n（n∈N*）；

（2）由（1）知bn＝（2n﹣1）an＝（2n﹣1）•2n，

Tn＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，

2Tn＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，

两式相减得﹣Tn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1

＝2+2•（2n﹣1）•2n+1，

化简可得Tn＝6+（2n﹣3）•2n+1．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求角A的值；

（2）若3sinB＝2sinC，，求b，c．

【解答】解：（1）∵．∴2sinAcosC+sinC＝2sinB，

∴2sinAcosC+sinC＝2sin（A+C），

化为：sinC＝2cosAsinC，sinC≠0．

∴cosA，A∈（0，π）．

∴角A．

（2）∵3sinB＝2sinC，∴3b＝2c，

又，7＝b2+c2﹣2bccos，

联立解得：b＝2，c＝3．

19．（12分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：

（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；

（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．

【解答】证明：（Ⅰ）证法一：∵F是AC的中点，∴AF＝C′F．

设AC′的中点为G，连接FG．设BC′的中点为H，连接GH，EH．

由题意得C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角．∴∠BEC′＝60°，

∵E为BC的中点．∴BE＝EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′．

∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′．

∵EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB．

∵BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′．

∵G，H分别为AC′，BC′的中点．∴GHFE，

∴四边形EHGF为平行四边形．∴FG∥EH，FG⊥平面ABC′，

又FG⊂平面AFC′．∴平面AFC′⊥平面ABC′．（6分）

法二：如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2．则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．

设平面ABC′的法向量为（x，y，z），（0，0，2），（），

∴，令x＝1，则（1，，0），

设平面AFC′的法向量为（x，y，z），

（0，2，﹣1），（，1，﹣2），

∴，取y＝1，得（，1，2）．

∵•0，∴平面AFC′⊥平面ABC′．（6分）

解：（Ⅱ）如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2，则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．

平面BEC′的法向量（0，0，1），（8分）

设平面AFC′的法向量为（x，y，z），

（），（0，2，﹣1），

∴，取y＝1，得（）．（9分）

∴cos，（10分）

由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．

∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°．（12分）

20．（12分）上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；

（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X≥2的概率．

附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．

【解答】解：（1）由题意可知，0.012，

该校数学成绩的平均分数为0.1×90+0.24×100+0.3×110+0.16×120+0.12×130+0.08×140＝112．

（2）根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）＝0.9974，

所以，即0.0013×10000＝13，

所以前13名的成绩全部在135分以上．

从频率分布直方图中，可知，50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学数量为（0.012+0.008）×10×50＝10人，

成绩在135分（含135分）以上的同学数量为0.008×10×50＝4人，成绩在[125，135）的同学数量为10﹣4＝6人，

而随机变量X的可能取值为0，1，2，3，

，，

P（X≥2），

故X≥2的概率为．

21．（12分）如图，已知直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点且OA⊥OB．

（1）若OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值

（2）求△AOB面积的最小值

【解答】解：（1）∵OD⊥AB，∴kOD•kAB＝﹣1．

又kOD，∴kAB＝﹣2，∴直线AB的方程为y＝﹣2x+5．

设A（x1，x2），B（x2，y2），

由．

又x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）＝5x1x2﹣10（x1+x2）+25，

联立方程，消y可得4x2﹣（20+2p）x+25＝0①

∴，x1x2．

∴x1x2+y1y2．

∴当p时，方程①成为8x2﹣45x+50＝0显然此方程有解．

∴p；

（2）设OA：y＝kx，代入y2＝2px得x＝0，x，

∴A（ ，），同理以代k得B（2pk2，﹣2pk）．

|OA|，

|OB|，

△AOB面积S|OA||OB|•4P2，

当且仅当k＝±1时，取等号．

所以△AOB面积的最小值为4p2．

22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣ax+lnx．

（1）若当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：．

【解答】解：（1），

∵x＝1时，f（x）取得极值．∴f'（1）＝0，a＝3．

∴，

解f'（x）＞0得，或x＞1；解f'（x）＜0，得，

∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为．

（2），

∵f（x）存在两个极值点，∴方程f'（x）＝0即2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有两个不等实根．

∵，，∴．

∴所证不等式等价于，即．

不妨设x2＞x1＞0，即证，

令，，则，

∴h（t）在（1，+∞）上递增，∴h（t）＞h（1）＝0，

∴成立，∴成立．