浙江省宁波市九校2020-2021学年度高一上学期期末联考试题 数学【含答案】

选择题 部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知，，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．将函数的图象沿轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知，点是角终边上一点，则（    ）

A．    B．    C．    D．或

5．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（    ）（参考数据：，）

A．年    B．年    C．年    D．年

6．函数（其中为实数）的图象不可能是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有．若，则的取值范围是（是自然对数的底数）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知，均为实数，则“”成立的必要条件可以是（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知函数为偶函数，点，是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（    ）

A．        B．

C．        D．在区间上单调递增

11．关于函数，下列说法正确的有（    ）

A．函数是周期为的周期函数

B．

C．不等式的解集是

D．若存在实数满足，则的取值范围是

12．已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有．设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）

A．的图象关于直线轴对称    B．在内至少有个零点

C．的图象关于点中心对称    D．在上的值域为

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．计算          ．

14．已知，，则          ．

15．已知，，均为正实数，满足，则的最小值是          ．

16．对于实数，若两函数，满足：①，或；②，，则称函数和互为“相异”函数．若和互为“相异”函数，则实数的取值范围是          ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知全集，集合，集合．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若，且，求实数的值．

18．已知函数，．

（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；

（Ⅱ）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围．

19．已知关于的不等式的解集为．

（Ⅰ）写出集合；

（Ⅱ）若集合中恰有个整数，求实数的取值范围．

20．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要．甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）．

（Ⅰ）求劣弧的弧长（单位：）；

（Ⅱ）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；

（Ⅲ）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．

21．已知函数，．

（Ⅰ）根据定义证明函数是减函数；

（Ⅱ）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围．

22．设函数，．

（Ⅰ）判断的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当时，若对任意的，均有成立，求的最大值．

参

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13．6    14．    15．    16． 

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解析：

（Ⅰ），………………………………………………………1分

表示函数的值域，

当时，在上单调递减，值域， ………………3分

，………………………………………………………………4分

， …………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由知，由知， 

所以，…………………………………………………………………………8分

故，且，即.………………………………………………10分

18．解析：

（Ⅰ） 

………………………………………………………………………3分

因为，所以，

由得，

故单调递增区间为;………………………………………………………………5分

， 

所以当时，取最大值, 当时，取小值.………………7分

（Ⅱ）设，，， 

“函数有且仅有一个零点”等价于“直线与有且只有一个交点”，………… …………………………………………………………………10分

数形结合可得，即.

故的取值范围为．…………………………………………12分

19．解析：

（Ⅰ）当时，不等式为，；…………2分

当时，；………………………………………4分

当时，；…………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）知，且，…………………………………………8分

即……………………………………………………………………10分

解得的取值范围是…………………………………12分

20．解析：

（Ⅰ）由题意得，弧长；………2分

（Ⅱ）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，时，游客在点，初始位置所对应的角为，角速度为，由题意可得

；………………………………………………6分

（Ⅲ）法1：由得乙比甲始终落后，

故经过分钟后，甲乙相对于地面的距离分别为

，，， 

若都要获得最佳视觉效果，应满足， 

且， ………………………………………………………8分

化简得，， 

因为，所以，，

由，得，，

故解得， ……………………………………………………………………11分

所以摩天轮旋转一周能有分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．………12分

法2：经过分钟后，甲相对于地面的距离为，， 

若要获得最佳视觉效果，应满足， ………………………8分

化简得， 

因为，所以，

由，得， ………………………………………………10分

由乙比甲始终落后，知乙在时获得最佳视觉效果，

要使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果，则，……………………………11分

所以摩天轮旋转一周能有分钟使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．…………12分

21．解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，

任取，且，

，…………………………2分

因为，所以， 

从而，即， 

因此函数在定义域内单调递减.…………………………………………4分

（Ⅱ）设函数，定义域为，

对于任意的，，故为奇函数， 

且由是减函数可知，也是减函数，

由，得，故．

（也可以列方程直接解出）………………7分

由得，即

， 

令，由得，………………………………9分

即在内有解，

方法1：由得，

当时，，所以，

综上所述，的取值范围是……………………………………………12分

方法2：设， 

， 

①即；

②，无解； 

③无解；

④无解.

综上所述，的取值范围是…………………………………………12分

22．解析：

（Ⅰ）当时，，

对于，，

故为偶函数；…………………………………………………………………2分

当时，，故不是奇函数；

，

由于，故，即，

故不是偶函数,

综上所述，当时，是偶函数，

当时，既不是偶函数又不是奇函数. ………………………………4分

（Ⅱ）（i）当时，在恒成立等价于在恒成立，即恒成立，…………………………………5分

若，则，所以， 

故，当，时，取到；…………………………7分

若，则，所以， 

故，当，时，取到；…………………………9分

（ii）当时，在恒成立等价于在恒成立，………………………………………………………………………10分

①当时，，；

②当时，，；

当时，，故， 

综上所述，的最大值为.………………………………………………………12分