平面向量问题的处理技巧

“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．

命题热点为：

1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．

2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．

3．两非零向量平行、垂直的充要条件．4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．

5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．

6．利用化归思想处理平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．

例1.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

例2．在中，，M为BC的中点，则__.（用表示）

例3．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则

向量(  )

（A）       （B）    

（C）        （D）

例4．与向量=的夹解相等，且模为1的向量是  (  )

(A)                      (B)或

（C）                  （D）或

例5．设向量与的夹角为，且，，则__．

例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）

  （A）       （B）      （C）      （D）

例7.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（   ）

（A）                     （B）

（C）                      （D）

例8．设函数，其中向量=(m,cos2x), =(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

例9．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（）求的取值范围；

（）求函数的最大

例10．已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) 

（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；

例11．在中，角的对边分别为．

（1）求；（2）若，且，求．

例12.设函数，其中向量，

.

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 

例13．已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

（Ⅰ）若⊥，求θ；

（Ⅱ）求｜＋｜的最大值．

专项训练：

一、选择题

1．已知的值为        （    ）

    A．－6    B．6    C．    D．－ 

2．已知△ABC中，点D在BC边上，且则的值是（  ）

A．    B．    C．－3    D．0

3．给出下列命题：①·=0，则=0或=0.②若为单位向量且//，则=||·.

③··=||3.④若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是（    ）

    A．0    B．1    C．2    D．3

4.在以下关于向量的命题中，不正确的是（    ）

A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b

B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||

C.点G是△ABC的重心，则++=0

D.△ABC中，和的夹角等于180°－A

5.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e2－2e1等于（    ）

A.              B.               C.                   D. 

6.将函数y=x+2的图象按a=（6，－2）平移后，得到的新图象的解析式为（    ）

A.y=x+10        B.y=x－6         C.y=x+6    D.y=x－10

7.已知向量m=(a,b)，向量m⊥n且|m|=|n|,则n的坐标为（    ）

A.（a, －b）        B.( －a,b)        C.(b, －a)        D.( －b, －a)

8.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足｜f(－x)｜=｜f(x)｜,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.

则下述判断正确的是（    ）

A.命题（1）（2）均为假命题

B.命题（1）（2）均为真命题

C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

D.命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

9．若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（    ）

A. a=或b=         B.|a|=|b|       C. a•b=0        D.以上都不对

10．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足   则P的轨迹一定通过△ABC的    （    ）

    A．外心    B．内心    C．重心    D．垂心

11．已知与的夹角为60°，则与－的夹角余弦为     .

12． 向量，，则和所夹角是        

13.△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量

时，求.

14.已知平面向量a=（，－1），b=（，）.

(1)证明：a⊥b；

(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t2－3)b,y=－ka+tb,且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);

(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.

【参】

一、选择题

1.B 2．D 3．A

4. 答案：C

提示：若点G是△ABC的重心，则有++=0，而C的结论是++=0，显然是不成立的，选C.

5.B  6.B 7.C  8.A 9. C 10．B

11． 12．60°