椭圆常见题型总结

1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；

椭圆上一点和焦点，为顶点的中，，则当为短轴端点时最大，且

①；

②；

③=（短轴长）

2、直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆交于两点，则

3、椭圆的中点弦：设是椭圆上不同两点，是线段的中点，可运用点差法可得直线斜率，且；

4、椭圆的离心率

范围：，越大，椭圆就越扁。

求椭圆离心率时注意运用：，

5、椭圆的焦半径 若是离心率为的椭圆上任一点，焦点为，，则焦半径，；

6、椭圆标准方程的求法

⑴定义法：根据椭圆定义，确定，值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；

⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出，，从而求出标准方程；

⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为；

椭圆方程的常见题型

1、点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则点的轨迹方程为          ；

2、已知轴上一定点，为椭圆上的动点，则AQ中点的轨迹方程是          ；

3、平面内一点到两定点、的距离之和为10，则的轨迹为（  ）

A 椭圆               B 圆             C 直线               D  线段

4、经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆为（  ）

A        B     C       D  

5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴做垂线段，则线段的中点的轨迹方程是（  ）

A        B     C      D

6、设一动点到直线的距离与它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是     （   ）

A  B  C   D 

7、动圆P与圆内切与圆外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。

8、已知动圆C过点A，且与圆相内切，则动圆圆心的轨迹方程为          ；

9、已知椭圆的焦点在轴上，焦距等于4，并且经过点，则椭圆方程为         ；

10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点，，则该椭圆的标准方程为          ；

11、设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．

12、若平面内一动点到两定点，之和为常数，则的轨迹是          ；

13、已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程；

14、已知椭圆的焦距是2，且过点，求其标准方程；

椭圆定义的应用

1、已知、是椭圆的两个焦点，是经过焦点的弦且，若椭圆长轴长是，求的值；

2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则的值可能为（  ）

Ａ ２               Ｂ ３             Ｃ ４               Ｄ  ５

3、椭圆的两个焦点为、，Ｐ为椭圆上一点，若，求的面积。

4、设Ｐ是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，若，则

5、椭圆上一点Ｍ到焦点的距离为２，Ｎ是中点，则（  ）    

Ａ ２               Ｂ 6             Ｃ ４               Ｄ  

6、在椭圆上有一点P，、分别是椭圆的上下焦点，若，则=         ；

7、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则         ；

8、设、为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积。

9、是方程表示焦点在轴上的椭圆的         条件；

10、若方程表示椭圆，则的取值范围为          ；

11、已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是         ；

椭圆与向量有关题型

例1已知椭圆C：的右焦点为，右准线为，，线段交C于点，若，则=         ；

例2已知椭圆C：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与C相交于、两点，且，则为             ；

1、已知椭圆的焦点为、，点M在该椭圆上，且，则点M到轴的距离为                 ；

2、已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为，则             ；

3、已知椭圆C：的右焦点为，右准线为，，线段交C于点，若，则=         ；

椭圆的离心率问题

例1、、分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为          ；

例2、已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，求椭圆的离心率的取值范围；

1、设、分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是          ；

2、在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为2C，以点为圆心，为半径作圆Ｍ，若过点所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为   　　　    ；

3、已知椭圆的左焦点为 ，为椭圆的两个顶点，若到的距离等于，则椭圆的离心率为           ；

4、已知椭圆的左右焦点分别为、，且，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率为   　　　   ；

5、已知、，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为    　　   ；

6、椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为。在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率取值范围是           ；

7、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交Ｃ于点D，且，则C的离心率为             ；

8、以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线交于、两点，已知是正三角形，则该椭圆的离心率是         ；

9、已知  分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，若，则该椭圆的离心率为         ；

10设是椭圆的左、右焦点,为直线上一

点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （　　）

A．    B．    C．    D．

11椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

椭圆的焦点三角形

1、椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则         ；的大小为         ；

2、是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面积等于                （  ）

3、是椭圆上的一点，和为左右焦点，若。

（1）求的面积；（2）求点的坐标。

焦半径问题

１椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的的     　  倍；

椭圆的中点弦问题

例1、已知椭圆与直线相交于、两点，是的中点，若，的斜率为，求椭圆方程。

1、直线交椭圆于A、B两点，中点的坐标是，则直线的方程为

     　    ；

2、已知椭圆的方程是，则以点为中点的弦所在的直线方程是        ．

3、椭圆C：的左右焦点分别为、，点在椭圆C上，且，。

（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线过圆的圆心交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程。