江苏省南通中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷(含答案和解析)

高二数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限、

2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

3.若函数x

x x f 1

)(2

+

=,则()=-'1f （）3

A.-1

B.1

C.-3

D.4.已知*

∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（

）

79

100 A.n

A -80

100 B.n

A -n

n

A --21100 C.n

A -21100

D.5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在

),(b a 内极小值点个数为()

1 A.

2 B.

3 C.4

D.

285

15 A.C C 2

15 B.C C 2

85

390 C.C C -3

85

390 D.C C -7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为(

)

4

1

A.3

1

B.3

2

C.4

3

D.8.若函数bx x x x f -+

=2

21ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)

(2, A.+∞,2)

2( B.-)

,2()2,( C.+∞⋃--∞)

2,0( D.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 81

83>-，则m 的取值可能是（

）A.6

B.7

C.8

D.9

10.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2

B.z 的虚部是i

2 C.i

z 21-= D.5

=

z 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是2

1

，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（

）

A.2个球都是红球的概率为

61 B.2个球不都是红球的概率为

3

1C.至少有1个红球的概率为

3

2

D.2个球中恰有1个红球的概率为

2

1

6.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（

）

12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）

A.()()2112x f x x f x <

B.()()

2211x f x x f x +<+C.

()()02

121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()

1222112x f x x f x x f x <+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.5

22⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+x x 的展开式中4x 的系数为_______.

14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)

a

P n n n n ξ===+，其中a 是常数，则

15

()22

P ξ<<的值为．

15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种（数字作答）．

16.已知函数2(2)2,1,

(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩

若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范

围为．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；

（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．

18.已知二项式(2()n x n N

+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按

要求完成以下问题：（1）求n 的值；

（2）求展开式中的常数项；

（3）计算式子06152436

6662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．19.已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈的图象在点(1M ，f （1）)处的切线方程为1230x y +-=．

（1）求a 、b 的值；

（2）求()f x 在[2-，4]的最值．

21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率

（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布

22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．

（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．

20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率

（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率

江苏省南通中学2019~2020学年第二学期期中考试

高二数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数()()i 2i 1++=z 所对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限、

【答案】A

2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“4>ξ”表示试验的结果为()

A.第一枚为5点，第二枚为1点

B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C.第一枚为6点，第二枚为1点

D.第一枚为4点，第二枚为1点

【答案】C

3.若函数x

x x f 1

)(2

+

=,则()=-'1f （）3

A.-1

B.1

C.-3

D.【答案】A

4.已知*

∈N n ，则()()()n n n ---100...2221等于（

）

79

100 A.n

A -80

100 B.n

A -n

n

A --21100 C.n

A -21100

D.【答案】B

5.函数)(x f 的定义城为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在

),(b a 内极小值点个数为()

1

A.2

B.3

C.4

D.【答案】A

6.若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（

）

285

15 A.C C 2

15 B.C C 2

85

390 C.C C -3

85

390 D.C C -【答案】D

7.从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为(

)

4

1

A.3

1

B.3

2

C.4

3

D.【答案】C

8.若函数bx x x x f -+

=2

21ln )(存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（）)

(2, A.+∞,2)

2( B.-)

,2()2,( C.+∞⋃--∞)

2,0( D.【答案】A

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分）9.若m m C C 81

83>-，则m 的取值可能是（

）A.6 B.7

C.8

D.9

【答案】BC

10.若复数z 满足()i z i +=3-1（其中i 是虚数单位），则（）A.z 的实部是2 B.z 的虚部是i

2 C.i

z 21-= D.5

=

z 【答案】CD

11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出一个红球的概率是2

1

，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是（

）

A.2个球都是红球的概率为61

B.2个球不都是红球的概率为

3

1C.至少有1个红球的概率为

3

2

D.2个球中恰有1个红球的概率为

2

1【答案】ACD

12.已知函数()x x x f ln =，若210x x <<，则下列结论不正确的是（）

A.()()2112x f x x f x <

B.()()

2211x f x x f x +<+C.

()()02

121<--x x x f x f D.当1ln ->x 时，()()()

1222112x f x x f x x f x <+【答案】BCD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.5

22⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+x x 的展开式中4x 的系数为_______.

【答案】40

14.已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)

a

P n n n n ξ===+，其中a 是常数，则

15

()22

P ξ<<的值为．

【答案】

6

5【解答】由题意，由所有概率的和为1可得

1261220a a a a +++=，54

a ∴=15255

((1)(2)2226346

a a P P P ξξξ<<==+==+=⨯=故答案为：

5

6

同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种（数字作答）．

【答案】600

【解答】分两步，第一步，先选四名老师，又分两类

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C =种不同选法

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4

6

15C =种不同选法∴不同的选法有101525+=种

第二步，四名老师去4个边远地区支教，有4

4

24A =最后，两步方法数相乘，得，2524600⨯=，故答案为600

16.已知函数2(2)2,1,

(),1x x a x a x f x e ax x ⎧-++=⎨->⎩

若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范

围为．

【答案】(-∞，1](,)e +∞ ．

【解答】当0a =时，22,1

(),1x x x x f x e x ⎧-=⎨>⎩

，()f x 在R 上有零点0；

当0a <时，函数x y e ax =-在(1,)+∞上无零点，要使()f x 在R 上有零点，则函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，

故△2(2)80a a =+-，即2(2)0a -，该式对任意的0a <都成立；若0a >，要使函数2(2)2y x a x a =-++在(-∞，1]上有零点，则1(2)20a a -++，即1a ，01a ∴<；

要使x y e ax =-在(1,)+∞上有零点，则方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根，若1a e <，函数x y e ax =-的导函数为0x y e a '=->在(1,)+∞恒成立，

则x y e ax =-在(1,)+∞上单调递增，则0y e a >-≥，方程0x e ax -=在(1,)+∞上无根；若a e >，说明1x =时，函数x y e =的图象在y ax =的图象的下方，则在(1,)+∞上两函数图

15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不

象有交点，即方程0x e ax -=在(1,)+∞上有根．

综上，若函数()y f x =在R 上有零点，则实数a 的取值范围为(-∞，1](,)e +∞ ．故答案为：(-∞，1](,)e +∞ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知i 是虚数单位，且复数z 满足(3)(2)5z i --=．（1）求z ；

（2）若()z a i + 是纯虚数，求实数a 的值．【解答】（1）(3)(2)5z i --= ，55(2)33(2)352(2)(2)

i z i i i i i +∴=

+=+=++=+--+（2）由（Ⅰ）可知5z i =+，

()(5)()(51)(5)z a i i a i a a i ∴+=++=-++ ；

又()z a i + 是纯虚数，

510a ∴-=且50a +≠；解得1

5

a =

．18.已知二项式(2()n x n N

+∈的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按

要求完成以下问题：（1）求n 的值；

（2）求展开式中的常数项；

（3）计算式子06152436

6662222C C C C +++3425160666222C C C +++的值．【解答】（1）依题意，12

:2:5n

n C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =；（2）由（1）知6n =．616

6

(2)

2

r

r

r

r r T C x C

-+∴==3662

r r

x

--由3602

r -=，得4r =，∴展开式中的常数项为4

62

C

60-=．

（3）令1x =得06152436

6662222C C C C +++342516066662223C C C +++=．

20.乒乓球单打比赛在甲乙两名运动员之间进行，比赛采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（1）求乙以4比1获胜的概率

（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率【解析】甲乙两名运动员每一局获胜的概率都是

12

记乙以4比1获胜为事件A ，则A 表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢

3341111()()2228

P A C =⋅⋅=

记甲获胜且比赛局数多于5局为事件B,其表示甲以4比2获胜或以4比3获胜

甲以4比2获胜表示前5局比赛中甲赢了3局，且第6局比赛中甲赢了，故示甲以4比2

获胜的概率为3

3251

115()(22232

C ⋅

=甲以4比3获胜，表示前6局甲赢了3局且第七局比赛中嘉应了故示甲以4比3获胜的概

率为3

3361

115()(22

232C ⋅

=故555

==

323216

P +（B）

19.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2(a ,b ∈R )的图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0．

（1）求a 、b 的值；

（2）求f (x )在[-2，4]的最值．

【解答】（1）函数f (x )=x 3+ax 2+bx +2的导数为f '(x )=3x 2+2ax +b ，图象在点M (1，f （1）)处的切线方程为12x +y -3=0，可得3+2a +b =-12，3+a +b =-9，解得a =-3，b =-9；

（2）由f (x )=x 3-3x 2-9x +2的导数为f '(x )=3x 2-6x -9，可令f '(x )>0，可得x >3或x <-1；f '(x )<0，可得-1则f (-1)=7，f （3）=-25，f (-2)=0，f （4）=-18，可得f (x )在[-2，4]的最小值为-25，最大值为7．

【解析】(1）求取出的3个球至少1个红色球的概率37397

112

C P C =-=

(2)记取出一个红色球两个白色球为事件B，取出2个红色球1个黑色球为事件C

则12212324

33

99

()()()42C C C C P B C P B P C C C +=+=+=(3)ξ可能的取值为0，1，2，3．

3

6395

(0)21

C P C ξ===

，12363

945

(1)84

C C P C ξ===，21363

93

(2)14

C C P C ξ===，33391

(3)84

C P C ξ===

．则ξ的分布列为：

ξ

0123P

521

4584

314

184

21.盒子中有大小相同的9个，其中2个球红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出一个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出一个黑色球得-1分，现从盒子任取3个球（1）求取出的3个球至少1个红色球的概率（2）求取出三个球得分之和为1的概率

（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布

22.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．

（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关求0x ；（2）若x R ∃∈，使得()0f x <成立，求整数k 的最大值．【解析】：（1）'()(1)x

f x kx k e k

=+--1'()()x x x

f x xe e k e -=-+要想切线斜率与k 无关，即要10x

x

xe e +-=令1

()x

x

g x xe e =+-显然(0)0g =，故00x =是其中一个解。

'()(2)x

g x x e =+x (,2)

-∞-2

-(2,)

-+∞'()g x 负0正()

g x 递减

极小值

递增

当2x <-时

()(1)11x g x x e =<-+-<当20x -≤<时，递增

()(0)g x g <=当0x >时，递增

()(0)g x g >=所以00x =是()0g x =的唯一解。

（2）(1)(1)f k e =-，所以1k <时已经存在1x =满足题意。所以只需考虑1k ≥的情况：此时101k

<

≤()(1)(1)(1)11x x x f x kx e k x kx e e k =---=--++-()(1)(1)1

x f x kx e k =--+-

当0x ≤时，()(1)(1)110x

f x kx e k k =--+-≥-≥，不合题意

当1x k

≥

时，()(1)(1)110x

f x kx e k k =--+-≥-≥，不合题意所以只需要考虑1

01x k

<<≤时的情况。

要()(1)(1)0x

f x kx e k x =---<，即要(1)x

x

k xe x e -+<，因为01x <<，所以

110

x xe x x -+>->即要

1x x e k xe x <-+，即1(1)x x x e k ->--，令()(1)x

h x x x e -=--'()1(2)(2)x x x

h x x e e x e --=+-=+-'()h x 的正负即2x e x +-的正负，设()2x u x e x =+-，由于增函数加增函数还是增函数，所以()u x 递增，(0)10,(1)10u u e =-<=->，所以()u x 在(0,1)上存在唯一零点，记为m 。

x (,)

m -∞m

(,)

m +∞'()h x 负0正()

h x 递减

极小值

递增

存在x 满足题意即

min 1

()|=()h x h m k

>而()(1)m

h m m m e -=--，其中m 满足20

m

e m +-=所以2111

()13(2)222m h m m m m m m m -+=-

=+-=--+---当2k ≥时，12m <，min 11

()|=()2

h x h m k >>，矛盾，所以2k ≥时恒不成立。

而1k =时，()(1)(1))(1)(1x

x

f x x e x x e =-----=，显然当01x <<时，()0f x <，满足题意。

故综上所述，2k ≥时不合题意，1k =时符合题意，故最大整数是1