2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

一、选择题（共12小题，请在下列12题和13题中选做一题）.

1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩∁UB＝（　　）

A．{1，4}    B．{1，4，5}    C．{4，5}    D．{6，7}

2．若复数z满足（﹣1﹣z）•i＝1+i，则|z|＝（　　）

A．    B．    C．2    D．3

3．设奇函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（3）＝﹣3，若不等式f（x）＜2t+1对所有的x∈[﹣3，3]都成立，则t的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]    B．（1，+∞）    

C．（﹣∞，1）    D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

4．二项式（1﹣x）2020展开式中的第2020项是（　　）

A．1    B．2020x2019    C．﹣2020x2019    D．x2020

5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（　　）

A．4    B．5    C．2    D．3

6．已知F1、F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C的右顶点，如果|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C离心率是（　　）

A．2    B．    C．3    D．

7．函数y＝的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．设命题p：关于x的不等式x2+2ax+3＞0对一切x∈R恒成立，命题q：对数函数y＝log（4﹣3a）x在（0，+∞）上单调递减，那么p是q的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

9．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（　　）

A．30种    B．50种    C．60种    D．90种

10．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（　　）

A．21π    B．15π    C．π    D．π

11．已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，设向量＝（a+b，sinC），＝（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为（　　）

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

12．如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x，则+的最小值为（　　）

A．16    B．15    C．12    D．10

13．已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且，，（x，y＞0），则3x+y的最小值是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．

14．某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为　   　．

15．已知向量与的夹角为，||＝2，|+|＝，则||＝　   　．

16．F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，Q是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的点，则|PQ|+|PF|最小值是　   　．

请在下列17题和18题中选做一题

17．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1）．若a3+a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当++…+取最大值时n的值为　   　．

18．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1），若a3+a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则数列{}的前n项的和Tn为　   　．

三、解答题：本题共5小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验如下：

（2）求y关于x的线性回归方程＝x+；

（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（＝，＝﹣）

20．已知函数f（x）＝1﹣cos2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期和值域；

（2）若x0（0≤x0≤）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．

21．若数列{an}是正项数列，且＝n2+n，

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．

22．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．

23．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率，a+b＝3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．

请在下列24题和25题中选做一题

24．已知函数f（x）＝3ex﹣﹣ax．

（1）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值；

（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．

25．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：f（x）≥﹣﹣1．

参

一、选择题（共12小题，请在下列12题和13题中选做一题）.

1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩∁UB＝（　　）

A．{1，4}    B．{1，4，5}    C．{4，5}    D．{6，7}

【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．

解：集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，7}，

所以∁UB＝{1，4，5}，

又A＝{2，3，4，5}，

所以A∩∁UB＝{4，5}．

故选：C．

2．若复数z满足（﹣1﹣z）•i＝1+i，则|z|＝（　　）

A．    B．    C．2    D．3

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

解：由（﹣1﹣z）•i＝1+i，得﹣1﹣z＝，则z＝﹣2+i，

∴|z|＝．

故选：A．

3．设奇函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（3）＝﹣3，若不等式f（x）＜2t+1对所有的x∈[﹣3，3]都成立，则t的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]    B．（1，+∞）    

C．（﹣∞，1）    D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

解：因为奇函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（3）＝﹣3，

所以f（x）max＝f（﹣3）＝3，

若不等式f（x）＜2t+1对所有的x∈[﹣3，3]都成立，

则3＜2t+1，解可得t＞1，

故选：B．

4．二项式（1﹣x）2020展开式中的第2020项是（　　）

A．1    B．2020x2019    C．﹣2020x2019    D．x2020

【分析】结合二项式定理的通项公式，直接进行求解即可．

解：展开式中第2020项为T2020＝（﹣x）2019＝﹣2020x2019，

故选：C．

5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（　　）

A．4    B．5    C．2    D．3

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S＝时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．

解：模拟执行程序，可得

a＝1，A＝1，S＝0，n＝1

S＝2

不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝，A＝2，S＝

不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝，A＝4，S＝

不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝，A＝8，S＝

满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．

故选：A．

6．已知F1、F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C的右顶点，如果|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C离心率是（　　）

A．2    B．    C．3    D．

【分析】利用已知条件求出|PF2|，|PF1|，利用利用已知条件推出c＝2a，rhqj 双曲线C的离心率．

解：F1、F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C的右顶点，

可得|PF2|＝c﹣a，|PF1|＝c+a，

因为|PF1|＝3|PF2|，所以a+c＝3c﹣3a，3t﹣t＝2a，

即c＝2a，

所以e＝2．

故选：A．

7．函数y＝的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．

解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，

即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，

因为函数y为偶函数，

故选：D．

8．设命题p：关于x的不等式x2+2ax+3＞0对一切x∈R恒成立，命题q：对数函数y＝log（4﹣3a）x在（0，+∞）上单调递减，那么p是q的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】利用判别式小于0恒成立求解a的范围化简p；再由对数函数的单调性求解a的范围化简q，然后利用充分必要条件的判定得答案．

解：关于x的不等式x2+2ax+3＞0对一切x∈R恒成立，

则4a2﹣12＜0，即﹣＜a＜，

∴P：﹣＜a＜；

对数函数y＝log（4﹣3a）x在（0，+∞）上单调递减，

则0＜4﹣3a＜1，即1＜a＜．

∴q：1＜a＜．

∵（1，）⊂（﹣，），

∴p是q的必要不充分条件．

故选：B．

9．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（　　）

A．30种    B．50种    C．60种    D．90种

【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．

解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，

②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，

所以总共有20+30＝50种．

故选：B．

10．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（　　）

A．21π    B．15π    C．π    D．π

【分析】由三视图可知，该几何体为由  的球体和  的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可．

解：由三视图可知，该几何体为由  的球体和  的圆锥体组成，

所以所求几何体的体积为，

因为，

，

所以，

即所求几何体的体积为 ．

故选：D．

11．已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，设向量＝（a+b，sinC），＝（a+c，sinB﹣sinA），若∥，则角B的大小为（　　）

A．30°    B．60°    C．120°    D．150°

【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出B的余弦，求出角．

解：∵向量＝（a+b，sinC），＝（a+c，sinB﹣sinA），若∥，

∴（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）＝0，

由正弦定理知：（a+b）（b﹣a）＝c（a+c），即a2+c2﹣b2＝﹣ac

由余弦定理知：2accosB＝﹣ac，

∴cosB＝﹣．

∵B∈（0，π），

∴B＝＝150°．

故选：D．

请在下列12题和13题中选做一题

12．如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x，则+的最小值为（　　）

A．16    B．15    C．12    D．10

【分析】由已知可得A，D，E三点共线，结合平面向量基本定理可得x+3y＝1，x＞0，y＞0，再利用基本不等式即可求解．

解：∵＝，

∴，

＝x＝x+3y，

因为A，D，E共线，所以x+3y＝1，

则+＝＝10+＝16，

当且仅当且x+3y＝1即x＝y＝时取等号，

故选：A．

13．已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且，，（x，y＞0），则3x+y的最小值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据重心的性质求出，再利用基本不等式得出答案．

解：设BC的中点为D，则＝＝＝+，

∵M，G，N三点共线，故＝1．

∴3x+y＝（3x+y）（）＝++≥+2＝+．

当且仅当即x＝+时取等号．

故选：D．

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．

14．某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为　24　．

【分析】用样本容量乘以女员工所占的比例，即得所求．

解：女员工占的比例为＝，

故应抽取的女员工人数为51×＝24（人），

故答案为：24．

15．已知向量与的夹角为，||＝2，|+|＝，则||＝　1　．

【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，列方程求出||的值．

解：向量与的夹角为，||＝2，|+|＝，

所以＝+2•+＝4+2×2×||×cos+＝7，

化简得+2||﹣3＝0，

解得||＝1或||＝﹣3（不合题意，舍去）；

所以||＝1．

故答案为：1．

16．F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，Q是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的点，则|PQ|+|PF|最小值是　2　．

【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解|PQ|+|PF|最小值．

解：经过Q作抛物线的准线的垂线x＝﹣1，垂足为N，如图：由抛物线的定义可知：|PF|＝|PN|，

当P、Q、N经过圆的圆心时，|PQ|+|PF|取得最小值，

圆心（2，1），半径为1，所以|PQ|+|PF|最小值为：2．

故答案为：2．

请在下列17题和18题中选做一题

17．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1）．若a3+a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当++…+取最大值时n的值为　8或9　．

【分析】首先求出数列{an}和{bn}的通项公式，进一步求出数列的和．

解：各项均为正数的等比数列{an}中，若a3+a5＝5，a2a6＝4，

所以，

由于公比q∈（0，1），

解得，

所以，解得q＝．

所以．

由于bn＝log2an＝．

所以，

则cn＝，

当n≤9时，，当n＞10时，前n项的和开始出现负值．

故当n＝9或8时，数列取得最大值．

故答案为：8或9．

18．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈（0，1），若a3+a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则数列{}的前n项的和Tn为　　．

【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式，进一步求出数列bn的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和．

解：各项均为正数的等比数列{an}中，若a3+a5＝5，a2a6＝4，

所以，

由于公比q∈（0，1），

解得，

所以，解得q＝．

所以．

由于bn＝log2an＝．

所以，

则cn＝，

当n≤9时．Tn＝c1+c2+…+cn＝．

当n＞9时，Tn＝c1+c2+…+c9﹣c10﹣…﹣cn＝2（c1+…+c9）﹣（c1+c2+…+cn）＝．

所以．

三、解答题：本题共5小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验如下：

（2）求y关于x的线性回归方程＝x+；

（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（＝，＝﹣）

【分析】（1）利用表格中的数据先作出散点图；

（2）求解均值a，b的值，从而得到线性回归方程；

（3）利用回归方程将x＝10代入方程中，得到y的预测值．

解：（1）散点图，如图所示．

（2）＝＝3.5，＝＝3.5，

∴＝52.5，，

∴＝＝0.7，

∴＝3.5﹣0.7×3.5＝1.05，

∴回归直线方程：

（3）当＝0.7×10+1.05＝8.05预测加工10个零件需要8.05小时．

20．已知函数f（x）＝1﹣cos2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期和值域；

（2）若x0（0≤x0≤）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；

（2）由f（x0）＝0，求得sin（2x0﹣）＝﹣，由x0的取值范围，即可求得2x0﹣的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x0﹣）的值，由2x0＝（2x0﹣）+，根据两角和的正弦公式即可求得sin2x0的值．

解：（1）f（x）＝1﹣+sin2x﹣cos2x，

＝sin2x﹣cos2x+，

＝2sin（2x﹣）+，…

 T＝＝＝π，

所以f（x）的最小正周期为π，

由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，

2sin（2x﹣）+∈[﹣，]，

∴f（x）的值域为[﹣，]．…

（2）由f（x0）＝2sin（2x0﹣）+＝0，

得sin（2x0﹣）＝﹣＜0，…

又由0≤x0≤，得﹣≤2x0﹣≤，…

∴﹣≤2x0﹣＜0，…

∴cos（2x0﹣）＝＝，…

则  sin2x0＝sin[（2x0﹣）+]，

＝sin（2x0﹣）cos+cos（2x0﹣）sin …

＝﹣×+×，

＝，

sin2x0＝．…

21．若数列{an}是正项数列，且＝n2+n，

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】（1）由＝n2+n，可得当n≥2时，+…+＝（n﹣1）2+n﹣1，两式相减可得＝2n，即可求出通项公式，

（2）bn＝＝＝n•2n，根据错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Sn．

解：（1）＝n2+n，

当n≥2时，+…+＝（n﹣1）2+n﹣1，

两式相减可得＝2n，

即an＝4n2，

当n＝1时也满足上式，

∴an＝4n2，n∈N*，

（2）bn＝＝＝n•2n，

∴Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n•2n，①

2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，②，

由①﹣②可得﹣Sn＝2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝﹣2+（1﹣n）2n+1，

∴Sn＝2+（n﹣1）2n+1

22．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．

【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得A，B，C，D，E的坐标，设CF＝h（h＞0），得F（1，2，h）．可得是平面ADE的法向量，再求出，由，且直线BF⊄平面ADE，得BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求出，再求出平面BDE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段CF的长．

【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．

设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．

则是平面ADE的法向量，又，可得．

又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；

（Ⅱ）解：依题意，，，．

设为平面BDE的法向量，

则，令z＝1，得．

∴cos＜＞＝．

∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；

（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，

则，取y＝1，可得，

由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．

经检验，符合题意．

∴线段CF的长为．

23．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率，a+b＝3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．

【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b＝3，结合条件a2＝b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；

（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，

由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．

【解答】（1）解：因为，所以，即a2＝4b2，a＝2b．

又a+b＝3，得a＝2，b＝1．

所以椭圆C的方程为；

（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．

联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0．

所以，．

则．

所以P（）．

又直线AD的方程为．

联立，解得M（）．

由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，

得，所以N（）．

所以MN的斜率为＝．

则．

所以2m﹣k为定值．

请在下列24题和25题中选做一题

24．已知函数f（x）＝3ex﹣﹣ax．

（1）若函数f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x+b，求a，b的值；

（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．

【分析】本题第（1）题先对函数f（x）求导，再根据在x＝0处的切线斜率可得到参数a的值，然后代入x＝0，求出f（0）的值，则b即可得出；第（2）题根据函数f（x）在R上是增函数，可得f′（x）≥0，即3ex﹣x﹣a≥0恒成立，再进行参变分离a≤3ex﹣x，构造函数g（x）＝3ex﹣x，对g（x）进行求导分析，找出最小值，即实数a的最大值．

解：（1）由题意，函数．

故f′（x）＝3ex﹣x﹣a，

则f′（0）＝3﹣a，

由题意，知3﹣a＝2，即a＝1．

又∵f（x）＝3ex﹣x2﹣x，则f（0）＝3．

∴2×0+b＝3，即b＝3．

∴．

（2）由题意，可知f′（x）≥0，即3ex﹣x﹣a≥0恒成立，

∴a≤3ex﹣x恒成立．

设g（x）＝3ex﹣x，则g′（x）＝3ex﹣1．

令g′（x）＝3ex﹣1＝0，解得x＝﹣ln3．

令g′（x）＜0，解得x＜﹣ln3．

令g′（x）＞0，解得x＞﹣ln3．

∴g（x）在（﹣∞，﹣ln3）上单调递减，在（﹣ln3，+∞）上单调递增，在x＝﹣ln3处取得极小值．

∴g（x）min＝g（﹣ln3）＝1+ln3．

∴a≤1+ln3，

故a的最大值为1+ln3．

25．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：f（x）≥﹣﹣1．

【分析】（1）根据导数符号与函数单调性之间的关系即可求解；

（2）要证f（x）≥﹣﹣1，令函数，即证明F（x）≥0，再结合导数求出函数F（x）的单调性进而求得最小值即可证明．

解：（1）函数f（x）＝ln（x+1）﹣，则定义域为，

，

∵x2+2x+1≥2x+1，∴（x+1）2≥2x+1，∴，∴，

∴f′（x）≤0（当且仅当x＝0时取等号），

∴f（x）的单调递减区间为，无单调递增区间．

（2）令函数，

则＝，

显然F′（0）＝0，

令函数，则，

由（1）知，∴，

∴，

所以H′（x）＞0，∴H（x）在上是增函数，且，

 当 时，H（x）＜0，即 F′（x）＜0，所以F（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，H（x）＞0，即F′（x）＞0，所以F（x）单调递增．

∴F（x） 的最小值为 F（0）＝0，∴F（x）≥0，

∴．