高三数学-抛物线专题复习

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

题型一　抛物线的定义及应用

例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

变式练习 　1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为                                        (　　)

A.            B.3        C.        D. 

题型二　抛物线的标准方程和几何性质

例2　抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.

变式练习　2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为                        (　　)

A.y2＝±4x                B.y2＝±8x

C.y2＝4x                D.y2＝8x

变式练习  3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于                                (　　)

A.2∶        B.1∶2        C.1∶         D.1∶3

题型三　抛物线焦点弦的性质

例3　设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.

变式练习　4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

题型四　直线与抛物线的位置关系

例4　已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标.

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

变式练习　5.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

例5　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两

点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 

方法与技巧小结

1.认真区分四种形式的标准方程

(1)区分y＝ax2与y2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).

2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；

(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.

第三部分 巩固练习

A组　专项基础训练

一、选择题

1.抛物线y＝－x2的焦点坐标是                                                (　　)

A.(0，)                B.(－，0)         C.(0，－)                D.(－，0)

2.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是            (　　)

A.        B.        C.1        D. 

3.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为                                (　　)

A.x＝1            B.x＝－1          C.x＝2            D.x＝－2

4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)

A.－4        B.4        C.p2        D.－p2

5.如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为(　　)

A.p2        B.        C.         D. 

二、填空题

6.若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是__________.

7.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

8.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A＝M，则p＝________.

三、解答题

9.如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程. 

10.如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径.

B组　专项能力提升

1.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于                                                            (　　)

A.9        B.6        C.4        D.3

2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为(　　)

A.(2,2)                    B.(2，－2)

C.(2，±)                D.(2，±2)

3.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为                                                    (　　)

A.        B.        C.        D.2

4.已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.

5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________.