| 学员姓名： | 科目：数学 | 年级： | 时间：年月日共课时 | |
| 授课教师： | 总课时： | 已上课时： | ||
| 教学标题 | 椭圆 | |||
| 考点、教学重点 | 1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程．(重点) 2．理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系．(难点) 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) | |||
| 教学过程 | ||||
| 椭 圆 类型一 | 椭圆的定义及其应用 | |||
【思路探究】 (1)由椭圆方程，你能写出|PF1|＋|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在△F1PF2中，根据余弦定理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求△F1PF2的面积？
【自主解答】 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，∴c2＝，∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
1．椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
在本例中，若把椭圆方程改为“＋＝1”，把∠F1PF2＝60°，改为“∠PF1F2＝90°”，其余条件不变，试求△PF1F2的面积．
【解】 椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.
| 类型2 | 与椭圆有关的轨迹问题 |
图2－2－1
如图2－2－1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？
【思路探究】 (1)本例适用什么方法求动点的轨迹方程？(2)所求轨迹一定是椭圆吗？
【自主解答】 设M(x，y)，P(x0，y0)，
∵PP′⊥x轴，且|P′M|＝λ|PP′|，
∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y.
∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.
把x0＝x，y0＝y代入上式得x2＋＝1.
当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当λ＝1时，点M的轨迹是圆；
当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．
2．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
代入法的主要步骤：
①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，相对应的已知曲线上的点设为Q(x1，y1)；
②建立关系式(※)
③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程．
动点P在y＝2x2＋1上移动，则P点与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？
【解】 设P(x0，y0)，PQ的中点M(x，y)
则
∴
∵P(x0，y0)在y＝2x2＋1上，
∴ 2(2x)2＋1＝2y＋1，
∴y＝4x2.
即忽略椭圆标准方程的隐含条件致误
【变式训练】 若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．
【错解】 由得3＜k＜5.
【错因分析】 错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a＞b这个条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．
【防范措施】 椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程．
【正解】 由题意可知解得3＜k＜5且k≠4.
PQ中点的轨迹方程为：y＝4x2.
| 求椭圆的离心率 |
(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．
【思路探究】 (1)能否推导出a与c的关系进而求出的值？(2)能否由已知条件构造关于的方程求解？
【自主解答】 (1)由题意得：b＝c，∴e2＝＝＝＝，∴e＝.
(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2
即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·()2＝0
即5·()2＋2·－3＝0，∴e＝＝.
求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：
(1)若已知a，c可直接代入e＝求得；
(2)若已知a，b，则使用e＝求解；
(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；
(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．
1 (1)椭圆＋＝1的离心率为________．
(2)已知椭圆的两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且·＝0，∠AF2F1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
【解析】 (1)∵a2＝16，b2＝8，∴e＝＝.
(2)∵·＝0，∴AF1⊥AF2，且∠AF2F1＝60°.
设|F1F2|＝2c，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c.
由椭圆定义知： c＋c＝2a即(＋1)c＝2a.
∴e＝＝＝－1.
【答案】 (1) (2)－1
2.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．
【自主解答】 如图，设椭圆两焦点为F1，F2，与正六边形
其中两个交点为A，B，并设正六边形边长为m，则根据正六边形的性质有：
∠FAB＝120°，|OF1|＝m，根据余弦定理F1B2＝m2＋m2－2m·m·cos 120°＝3m2，
∴F1B＝m，又2a＝F1B＋BF2＝m＋m，
∴a＝m，又c＝m，∴＝＝－1，
即椭圆的离心率为－1.
3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
【解析】 设M(x，y)，∵·＝0，∴M的轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为圆直径．由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设P为椭圆上任一点，则|OP|＞c恒成立，而|OP|≥b，∴b＞c，∴c2＜b2＝a2－c2，∴a2＞2c2，∴()2＜，∴0＜e＜.
【答案】 C
利用椭圆的几何性质求最值问题
【备选】 (12分)(2013·淄博高二检测)中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M(1， )，N(－，)两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)由于焦点位置不明确，需分情况讨论或用椭圆的一般方程形式，代入已知点求解；(2)表示出椭圆上的点P与定点A(a,0)的距离，研究其最小值，根据最小值求出a的值，进而求出点p的坐标．
【规范解答】 (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).1分
∵椭圆过M，N两点，
∴⇒3分
∴椭圆方程为＋＝1.5分
(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，
∴|AP|2＝(x－a)2＋y2.
又∵＋＝1，∴y2＝4(1－)，
∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－)
＝(x－a)2＋4－a2.7分
∵|x|≤3,0＜a＜3，若|a|≤3，
即当0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2，
由题意得4－a2＝1⇒a＝±∉(0，]；
若a＞3，即＜a＜3，当x＝3时，|AP|2取得最小值为(3－a)2，依题意(3－a)2＝1，解得a＝4或a＝2，
∵4∉(，3)，2∈(，3)，∴a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)，故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0).12分
【思维启迪】 1.求椭圆的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆的一般方程形式解决．
2．在解与椭圆上点有关的最值问题时，一定不能忽略椭圆的范围．
| 类型四 | 弦长问题 |
【思路探究】 →→
→→
【自主解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 ①
显然x1≠x2，故由①得：kAB＝＝－.
因为点P(－1,1)是AB的中点，所以有：
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2， ②
把②代入①得：kAB＝，
∴直线AB的方程为y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0，
由消去y，得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·＝.
求弦长的两种方法：
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝＝，其中x1、x2(y1、y2)是上述一元二次方程的两根，由韦达定理求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
【解】 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝.
| 类型5 | 中点弦问题 |
【思路探究】 可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解；也可以考虑利用点差法求解．
【自主解答】 法一 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x1、x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
∴＝＝2，
解之得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A、B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.
又直线AB过M(2,1)点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，解法一是设出方程，根据中点坐标求出k；解法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”．
若一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，且弦AB中点的坐标为M(1,1)，则直线AB的方程为________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦A、B的两个端点，代入椭圆方程有，
两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵M(1,1)为弦AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－.
故AB的直线方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.
【答案】 4x＋9y－13＝0
运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题
(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (1)根据椭圆上两点A、B连线的倾斜角和原点到该直线的距离可以求出椭圆方程中的待定系数，从而求得椭圆方程．(2)利用直线EF过D且斜率大于0设出直线方程，与椭圆方程联立，再根据向量关系得出坐标间关系，进而求出直线方程．(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，再求出k值．
【规范解答】 (1)由＝， ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.2分
(2)设EF：x＝my－1(m＞0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝2，得y1＝－2y2，4分
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得
(－)2＝，∴m＝1，m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.7分
(3)记P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)．将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0(*)，x′1，x′2是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝.
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM＝＝＝－，∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.10分
但k＝1，k＝均使方程(*)没有两相异实根．
∴满足条件的k不存在.12分
【思维启迪】 1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用，避免求解浪费时间或造成不必要的失分．
| 2．直线和椭圆相交时切记Δ＞0是求参数范围(值)的前提条件． | ||||
| 课后作业： 一、选择题 1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( ) A．－＜a＜ B．a＜－或a＞ C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1 【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部， ∴＋＜1. ∴＜. 则a2＜2，∴－＜a＜. 【答案】 A 2．(2013·潍坊高二检测)直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 【答案】 B 3．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( ) A．(±，0) B．(0，±) C．(±，0) D．(0，±) 【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a＝2，b＝1，∴c＝， 椭圆焦点坐标为(±，0)． 【答案】 A 4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( ) A. B. C. D. 【解析】 联立方程组可得 ⇒(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)， 则x0＝＝， y0＝1－x0＝1－＝. ∴kOP＝＝＝.故选A. 【答案】 A 5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( ) A．m≥1 B．m≥1或0＜m＜1 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 【解】 由得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， 又直线与椭圆有公共点， ∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立， 即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0， 亦即5k2≥1－m对一切k都成立， ∴1－m≤0，即m≥1，而m≠5. 【答案】 D 二、填空题 6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________． 【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)， 由消去y，得3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B(，)． 又由＋y2＝1知左焦点F1(－1,0)， 则|F1A|＋|F1B|＝＋＝. 【答案】 7．直线l交椭圆＋＝1于A、B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为________． 【解析】 由点差法求出kAB＝－，∴l的方程为y－1＝－(x－2)． 化简得：3x＋2y－8＝0. 【答案】 3x＋2y－8＝0 8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得 解得A(0，－2)，B(，)， ∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝. 【答案】 三、解答题 图2－2－4 9．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ 【解】 如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为＋＝1. ∵P(11,4.5)在椭圆上， ∴＋＝1.① 又b＝h＝6，代入①式，得a＝. 此时l＝2a＝≈33.3(米)， 因此隧道的拱宽约为33.3米． 10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【解】 (1)由题意得消y整理得： 5x2＋2mx＋m2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0， ∴－≤m≤. (2)设直线与椭圆交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由(1)得 ∴|AB|＝|x1－x2|＝· ＝·＝. ∵－≤m≤，∴0≤m2≤， ∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0. 11．已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l. (1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积； (2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程． 【解】 (1)∵AB∥l，且AB边通过点(0,0)， ∴AB所在直线的方程为y＝x. 设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 由得x＝±1， ∴|AB|＝|x1－x2|＝2， 又∵AB边上的高h等于原点到直线l的距离， ∴h＝，∴S△ABC＝|AB|·h＝2. (2)设AB所在直线方程为y＝x＋m. 由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0. ∵A，B在椭圆上， ∴Δ＝－12m2＋＞0. 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝. 又∵BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝. ∴|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11. ∴当m＝－1时，AC边最长．(这时Δ＝－12＋＞0) 此时AB所在直线方程为y＝x－1. 1.．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程． 【解】 如图所示，连结AP， ∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|， ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. ∴点P的轨迹方程为＋＝1. 11．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若△PF1F2的面积为2，求P点坐标． 【解】 (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8， 即2a＝8，∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)设P点坐标为(x0，y0)， 依题意知， |F1F2||y0|＝2， ∴|y0|＝，y0＝±， 代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2， ∴P点坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)． 12.一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 【自主解答】 两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R， ∴|MO1|＋|MO2|＝10. 而|O1O2|＝6＜10， 故由椭圆的定义知： M在以O1、O2为焦点的椭圆上， 且a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 13. 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程． 【解】 设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10，而|AB|＝6， ∴|PA|＋|PB|＞|AB|， ∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. ∴圆心P的轨迹方程为＋＝1. (教师用书独具) 14.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e＝，椭圆C上的点到F的距离的最大值为＋1，求椭圆C的方程． 【自主解答】 椭圆的右焦点F(c,0)， 设椭圆上一点P(x，y)， 则有：＋＝1， 即y2＝b2(1－)． |PF|2＝(x－c)2＋(y－0)2 ＝(x－c)2＋b2(1－) ＝x2－2cx＋b2＋c2 ＝x2－2cx＋a2 ＝(x－a)2， ∴|PF|＝|x－a|＝a－x ＝a－ex. ∵－a≤x≤a， ∴|PF|max＝a－e·(－a) ＝a＋c. 根据题意得a＋c＝＋1，e＝＝， 结合a2＝b2＋c2， 联立这三个关于a、b、c的方程组， 消去c得：. 解得：. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1. 15. (2013·莱芜高二检测)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为( ) A. B．3 C．8 D．15 【解析】 a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4. ∴c＝2.∴焦点F(－2,0)． 设P(x0，y0)，则＋＝1.① ＝(x0，y0)，＝(x0＋2，y0)，∴·＝x0(x0＋2)＋y.② 由①得：y＝5－x代入②得： ·＝x＋2x0＋5＝(x0＋)2＋. ∵点P(x0，y0)在椭圆上，∴－3≤x0≤3， ∴当x0＝－时，·的最小值是.故选A. 【答案】 A | ||||
| 教师课后建议及学法指导： | ||||
| 课后评价 | 1.学生掌握程度：精通○掌握○理解○不太理解○ 2.学生课堂表现：很积极○积极○一般○不太积极○ | |||
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