高等代数试题

一 判断题

 在向量空间中, , 则是的一个线性变换. (  ). 

 在向量空间中, , 则是的一个线性变换

 取定, 对任意的阶矩阵, 定义, 则是的一个线性变换

 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关, 那么也线性相关

 在向量空间中, 则微商是一个线性变换

 在向量空间中, 已知线性变换

则

  对向量空间的任意线性变换, 有线性变换, 使是单位变换

  向量空间的两个线性变换,为;

则

 在实数域上的维向量空间中取定一组基后, 的全体线性变换和上全体阶矩阵之间就建立了一个一一对应

在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵

 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的

 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵

 域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空 (  ).

 除零变换外, 还存在向量空间的线性变换, 能使的任意子空间对该变换不变.(  )

  向量空间的线性变换的不变子空间, 也是的另一线性变换的不变子空间, 这里

 向量空间的线性变换的象与核都是的不变子空间

 线性变换的特征向量之和, 仍为的特征向量

 属于线性变换同一特征根的特征向量的线性组合仍是的特征向量

 数域中任意数都是上的向量空间的零变换的特征根

 在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化

正确 错误 正确 正确 正确 正确 错误 正确 正确

错误 正确 错误 正确 正确 错误  正确 错误

正确 错误 错误

二 填空题

 设和是数域上的向量空间, 而是一个线性映射, 那么是单射的充要条件是____________.

  设和是数域上的向量空间, 而是一个线性映射, 那么是满射的充要条件是____________.

 是向量空间的线性变换, 若满足________________, 则称是可逆变换.

 向量空间的任意线性变换, 都有

是维向量空间的一个位似变换: 那么关于的__________基的矩阵是.

 在的基下的矩阵是

那么关于基的矩阵是_____________.

 在中的线性变换, 那么关于基的矩阵是________________.

设分别是向量空间中绕原点逆时针旋转角的线性变换, 那么关于基的矩阵是___________________.

 对于域上向量空间的数乘变换来说______________不变子空间.

维平面上的旋转变换,_________非平凡的不变子空间.

 若线性变换与是_____________, 则的象与核都是的不变子空间.

 相似矩阵有_____的特征多项式.

的___________都是的属于的特征向量.

 与对角阵相似, , 则必与某一______________.

 设是数域上的维向量空间, 的不同的特征根是, 则可对角化的充要条件是_____________.

 设是实数域上的维向量空间的线性变换, 如果的任意一维子空间都是的不变子空间, 那么可以_____________.

 设是实数域上的维向量空间的线性变换, 可对角化的充要条件是

的特征多项式的根都在内;

_______________________________;

 设, 如果的特征多项式在内有______________, 那么可对角化.

 设是实数域上的维向量空间的线性变换, 是的一个特征根, 则的重数.

 矩阵的特征根是______________.

答案

  存在的线性变换, 使 

任意    

 每个子空间都是  没有  可交换的相同 非零解向量  对角阵相似    对角化 对于的特征多项式的每一个根, 特征子空间的维数等于的重数 个不同的

单根   3, 2, 5 

三. 单选题：

1．向量空间的零变换的象及核的维数分别是（ ）。

    n, n

2．向量空间的单位变换的象及核的维数分别是（ ）。

3．“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。

充分  必要  充分必要  D. 以上都不对

4．对于域上向量空间的数乘变换来说，（ ）不变子空间。

 只有一个  每个子空间都是  不存在 存在且有限个

5.  维平面上的旋转变换，（ ）非平凡的不变子空间。

有一个   有无穷多  没有 有有限个

6．若线性变换与是（ ），则的象与核都是  的不变子空间。

互逆的  可交换的  不等的 不可换的

7．以向量空间的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（ ）

零变换  位似（数乘）变换  单位变换 D. 以上都不对

8．设是一线性变换，若。则下面说法正确的是（ ）

无特征根零  有特征根零  不确定 以上都不对

9．设是对合矩阵，是幂等矩阵，是幂零矩阵且, 那么（ ）可以对角化。

   在上均可以对角化

   仅在上可以对角化

   它们在上均不能对角化。

 在上可以对角化

答案： 

四  多选题

1  设是维线性空间的线性变换, 则在不同基下的矩阵

 .一定合同 . 一定相似;

 . 秩一定相等;.秩不一定相等.  

2设是线性空间的线性变换, 则

 .

 . ;

 . 当线性无关, 线性无关;

 . 当线性相关, 线性相关.

3设是数域上的维线性空间的线性变换, 且是单的. 则

 . 若, ,, 是的一组基, 则也是的一组基;

 .  是满射;

 .  不是满射;

 .  是双射.

4设是复数域上的维线性空间, 是的线性变换, 且. 那么

 . 若是的一个特征值, 那么是的不变子空间;

 . 的特征值一定相同;

 . 的特征子空间一定相同;

 . 至少有一个特征值一定相同;

5阶矩阵相似于对角阵的充要条件;

 . 的特征子空间的维数和等于;

 . 的初等因子都是一次的;

 . 有个不同的特征根;

 . 的最小多项式无重根.

答案:  

五 简单题

1. 线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组?

2.  的线性变换为

求的象与核的维数.

3．在数域上全体阶对称矩阵所组成的向量空间中定义变换 ，其中为一个固定的 阶方阵，为中任一对称矩阵。

证明：是的一个线性变换。

4．在向量空间中，对任意向量，规定，这里为取定的一个阶方阵。

证明： 是的一个线性变换。

5．证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。

6．是向量空间的线性变换。若，则或不成立，试举一反例.

7. 的两个线性变换为：对任意，

证明：. 

8．设是的线性变换，定义

证明： 对任意以下等式成立： 

9．证明：若，则，其中是 中多项式与的最大公因式。

10．令是中任意向量，是线性变换:

试证可逆。

11．设是数域上的阶矩阵，若之一可逆，则与相似。

12．设的两个线性变换与是可变换的。

试证的象与核都是的不变子空间。

13．设是向量空间的线性变换，那么 是的一维不变子空间当且仅当是  的属于某特征根的特征向量。

14．设是复数域C上线性空间的线性变换，若关于空间的一个基的矩阵为

求的特征根与特征向量。

15．设矩阵

求的特征根与特征向量。

16．设是属于阶对称矩阵的特征根的特征向量。

证明：是的特征根，并求矩阵的属于的一个特征向量。

17．试证幂等矩阵的特征根等于0或1。

18．设 均为阶矩阵。证明：

19．设阶矩阵的特征根是。

证明：

20．令是数域上一个阶矩阵，可以对角化的充分必要条件是在 内有个单根。这种说法对吗？

答案

1. 答 不一定. 例如, 在二维空间中, 到轴的投影变换, 把线性无关的向量组, 变为线性相关的向量组.

2. 解 设为的标准基, 则得线性方程组

其解空间即为. 因为此方程组的系数矩阵的秩为, 故

3．证明：任取，则

故是 的线性变换。

4．证明：任取 ，有

故  是的线性变换。

5．证明：设向量组在线性变换下的象线性无关。

令

于是

由线性无关，知，故线性无关。

6．解：反例为：对向量空间的任意向量，定义线性变换

则有

即  ，但是。

7．证明：任取，则

因而

故

9．证明：因为是与的最大公因式，所以存在，使

故有 。

10．任取的一个基，

那么

由于  关于此基的矩阵是可逆阵，故可逆。

11．证明：不妨设 可逆，于是存在而有

12．证明：任取，则存在 使于是

所以是的不变子空间。

任取，则 ，于是

故由而知是的不变子空间。

13．证明 ：是一维不变子空间的生成向量，自然有，且，因此存在，而使。反之，若是的属于特征根的特征向量，那么对任何

故。

14．解：易证的特征根为，它们相应的特征向量分别为，及

15．解：，从而的特征根为

因此它们的特征向量分别是： 

和。

16．证明：因为

故

又 , 可逆，易知，因此是 的一个特征根，并且是所求的一个特征向量。

17．设是的任一特征根，因是的特征根，所以 

故幂等阵的特征根是或。

18．证明：设，那么

19．证明：由题设易知的特征根为  ，因此

20．答；不对。例如，矩阵

有二重根，而本身就是对角形矩阵。

六．计算题：

1．向量空间的线性变换为

求与，并计算它们的维数。

解 取 的标准基，于是

任取 ，则

因此

显然

故

而线性无关，所以

因为

则由

得

所以

2．令表示数域上四元列空间。取

对于任 ，令。求线性变换的核和象的维数。

解 取的标准基由

其中

由此得秩

由线性方程组的解空间的维数，得

3．设是的标准基，线性变换 关于此基的矩阵是

求的象与。

解：解齐次线性方程组得基础解系

其中，从而

又由于的秩为 ，知的秩为2，且线性无关，它们构成的一个基，从而

4．设是向量空间  的线性变换， 在基下的矩阵是

试找出的所有不变子空间。

解：和是的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于

因此当 时，我们得的属于的特征向量

当时，得特征向量 。

令

那么和是的另两个不变子空间.

5.设数域上向量空间的线性变换关于基的矩阵是

（1）

（2）

（3）

试找出的一个不变子空间。

解：（1）因为是的属于特征根的特征向量，所以是的不变子空间。

 （2） 是属于特征根的特征向量，所以是的不变子空间。

 （3）因为的特征根是三重根  所以特征子空间就是的不变子空间。

6．在中定义线性变换如下，试求的特征根和特征向量。

解：设 关于的标准基的矩阵是，则

的特征多项式为

所以的特征根为三重根。解方程组 ，得特征向量

7．设是的一个线性变换。

已知：

试求：的全部特征根及特征向量。

 解： 关于标准基的矩阵为

那么的特征多项式为，且特征根为

解齐次线性方程组 ，得出特征向量为

即

这里不全为零。

8．设是的一个基，令

，且

求： 的特征根与特征向量。

 解：由条件

故关于基 的矩阵为

于是求出  的特征根为

当 时，解齐次方程组，得出特征向量为=

  不全为零。

当时，解齐次方程组，得特征向量为

9．设，试由的特征多项式和特征根写出的伴随阵 的特征多项式和特征根。

解：因

  的特征根为。

今

所以

又

所以   的特征多项式是

由此的特征根为。

10．试求方阵

的特征根。

 解：显然秩

所以  的任何高于一阶的子式皆为。于是

故 的特征根为。

七．证明题：

1．取定，对任意，规定

证明：的一个线性变换。

证明：任取

故的线性变换。

2．设是向量空间的一个子空间，并且存在的子空间，使，对任意，有唯一分解式。定义的变换  。

证明： 是的一个线性变换 。

证明：设任意，并且  

于是

故是的线性变换。

3．对向量空间的任意向量，定义

证明：是的线性变换。

证明：任取

则

故是的线性变换。

4．在中定义线性变换如下：

证明：可逆的充分必要条件是

证明：取的标准基，则关于此基的矩阵为

因为   ，

故可逆当且仅当矩阵可逆当且仅当

5．试证明：若矩阵与相似，与相似。

则矩阵与相似。

 证明：因为由题设，存在可逆，使 。

又因为存在可逆矩阵，使，那么我们有分块矩阵

 及

从而得到

 ==

故得求证的相似关系。

6．令是维向量空间的线性变换。

若是可逆变换。

则关于的某一基的矩阵 秩为。

 证明 设是向量空间的一个基，且

而可逆当且仅当可逆，因此矩阵秩为 。

7．试证线性变换的不变子空间的交与和都是的不变子空间。

证明：设与是 的两个不变子空间。那么与都是向量空间的子空间。现在它们是不变的。任取则由及  ，推出 。这证明了是的不变子空间。如果，那么可表成

于是

又由于

所以

故是的不变子空间。

8．设是复数域上的向量空间，与是的线性变换，并且。

证明：如果是的一个特征跟，那么特征子空间也是的不变子空间。

证明：显然已知是的不变子空间。现在证它是的不变子空间。即任取 ，往证. 由于

故 。

9．设是复数域上维向量空间，其线性变换两两可换。

证明：的每一个特征子空间都是的不变子空间。

证明： 设是属于特征根 的特征子空间，任取

则有：

那么

可见

所以是 的不变子空间。

10．设是向量空间的可逆线性变换。

证明：的特征根都不为零。

 证明：设为的特征根，且设在的某个基下对应的矩阵是。那么, 并且由可逆知可逆。

故的特征根都不为零。

11．设非奇异矩阵的全部特征跟为，则的全部特征根为：

 证明：由为可逆阵，有

所以的全部特征根皆不为零，其次对每个，由存在非零向量使。

我们可再从，推得 。所以都是的特征根。再由，

即知全部特征根是。

12．若为阶方阵的属于特征根的特征向量。

证明：为的特征根。

证明：因为与有相同的特征多项式，所以也是的特征根。

13．设数域上的矩阵

证明：彼此相似。

证明：在中取定基，并且令线性变换关于基的矩阵为。那么有

因此是线性变换关于不同基的矩阵，故它们彼此相似。

14．设是数域上维向量空间 的一个线性变换。

证明：可以对角化那么有个线性无关的特征向量。

 证明；若可以对角化，必存在的一个基

使 = 

它即是

因此有个线性无关的特征向量.

15．证明：若数域上维向量空间的线性变换有个不同的特征根，

则在某一基下的矩阵是对角形。

 证明：由题设的特征多项式 在内可以分解成为线性因式的乘积

且两两不同。对于每一，选取一个特征向量，

易知 线性无关。因而构成的一个基。

  关于这个基的矩阵是对角形矩阵

故 在基下的矩阵是对角形。

16．设 。

证明：在上可对角化的充分必要条件是。

 证明：必要性。用反证法，若

则是的二重特征根，但秩

故不能对角化，矛盾。

充分性。若，则特征多项式 有两个不同的特征根，因此，可对角化。

17．设是阶方阵，有个线性无关的特征向量 ，其对应的特征根均为  .

证明：是单位矩阵。

 证明：以的坐标为列，作一个 阶矩阵  ，由于的列线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且

于是

18．设 

证明：在上可以对角化的充分必要条件是

 证明：必要性。因为

所以

若

则 无实根

与  可对角化矛盾。

充分性。若

则有两个不同的实特征根   ，所以 可以对角化。

19．设是可逆矩阵且可对角化。

证明：也可对角化。

证明：因 可以对角化，所以存在可逆矩阵，使

而 可逆，故 ，且

因而可以对角化。

20．设 是可逆矩阵且可对角化。

证明： 可对角化。

证明： 因是可逆矩阵且可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵 ，使

其中  是的全部特征根。因而

所以 可对角化。