河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（）

    A．    （x﹣2）2+（y+12）=3    B．    （x﹣2）2+（y+12）=9    C．    （x+2）2+（y﹣12）=3    D．    （x+2）2+（y﹣12）=9

2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）

    A．    ∀x∉R，x2≠x    B．    ∀x∈R，x2=x    C．    ∃x∉R，x2≠x    D．    ∃x∈R，x2=x

3．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）

    A．    a⊥α，b∥β，α⊥β    B．    a⊥α，b⊥β，α∥β    C．    a⊂α，b⊥β，α∥β    D．    a⊂α，b∥β，α⊥β

4．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）

    A．    5    B．    3    C．    7    D．    3或7

5．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）

    A．    充分非必要条件    B．    必要非充分条件

    C．    充要条件    D．    既非充分又非必要条件

6．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）

    A．    直角三角形    B．    等腰直角三角形

    C．    等边三角形    D．    钝角三角形

7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

    A．    2π+2    B．    4π+2    C．    2π+    D．    4π+

8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，在双曲线右支上存在一点P满足PF1⊥PF2且∠PF1F2=，那么双曲线的离心率是（）

    A．        B．        C．        D．    

9．（5分）已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA=，则直线PB的斜率kPB为（）

    A．        B．        C．    ﹣    D．    ﹣

10．（5分）已知△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，平面ABC外一点，P满足PA=PB=PC=，则三棱锥P﹣ABC的体积是（）

    A．    1    B．        C．        D．    

11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）

    A．    +=1    B．    +=1    C．    +=1    D．    +=1

12．（5分）直线x+y=a 与圆x2+y2=1交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若=a，则a的值为（）

    A．        B．        C．        D．    

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）直线3x+4y﹣6=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0截得的弦长为．

14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

15．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．

其中真命题的个数是．

16．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．

（Ⅰ）求AB的中垂线方程；

（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．

18．（12分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

19．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足•=k||2．（其中k为常数）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．

20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF⊥平面PCD；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，AB⊥AF2．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率．

（Ⅱ）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

河北省唐山市滦南一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

参与试题解析

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（）

    A．    （x﹣2）2+（y+12）=3    B．    （x﹣2）2+（y+12）=9    C．    （x+2）2+（y﹣12）=3    D．    （x+2）2+（y﹣12）=9

考点：    圆的标准方程． 

专题：    直线与圆．

分析：    直接根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程．

解答：    解：根据圆心为（2，﹣1），半径为3，可得圆的标准方程为 （x﹣2）2+（y+12）=9，

故选B．

点评：    本题主要考查圆的标准方程的特征，属于中档题．

2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）

    A．    ∀x∉R，x2≠x    B．    ∀x∈R，x2=x    C．    ∃x∉R，x2≠x    D．    ∃x∈R，x2=x

考点：    命题的否定． 

专题：    简易逻辑．

分析：    根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．

解答：    解：根据全称命题的否定是特称命题，

∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．

故选：D．

点评：    本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．

3．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）

    A．    a⊥α，b∥β，α⊥β    B．    a⊥α，b⊥β，α∥β    C．    a⊂α，b⊥β，α∥β    D．    a⊂α，b∥β，α⊥β

考点：    空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 

分析：    根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．

解答：    解：A、B、D的反例如图．

故选C．

点评：    本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．

4．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（）

    A．    5    B．    3    C．    7    D．    3或7

考点：    双曲线的简单性质． 

专题：    圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．

解答：    解：双曲线x2﹣=1中a=1，

∵|PF1|=5，∴P在双曲线的左支、或右支上

∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣|PF1||=2，

∴|PF2|=7或3．

故选：D．

点评：    本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．

5．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）

    A．    充分非必要条件    B．    必要非充分条件

    C．    充要条件    D．    既非充分又非必要条件

考点：    必要条件、充分条件与充要条件的判断． 

专题：    计算题；空间位置关系与距离．

分析：    由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．

由此能求出结果．

解答：    解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：

“m⊆β”⇒“m∥α”，

反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．

∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．

故选B．

点评：    本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

6．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）

    A．    直角三角形    B．    等腰直角三角形

    C．    等边三角形    D．    钝角三角形

考点：    三角形的形状判断． 

专题：    计算题；解三角形．

分析：    先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．

解答：    解：由题意不妨设A，B，C成等差数列

则2B=A+C

∵A+B+C=π

∴B=，A+C=

∵a，b，c成等比数列

∴b2=ac，

∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac

∴a2+c2﹣ac=ac

∴（a﹣c）2=0

∴a=c

∵B=60°，

∴三角形为等边三角形，

故选C．

点评：    本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

7．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

    A．    2π+2    B．    4π+2    C．    2π+    D．    4π+

考点：    由三视图求面积、体积． 

专题：    立体几何．

分析：    由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．

解答：    解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱

由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π

棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，

故其高为

由此知其体积为=

故组合体的体积为2π+

故选C

点评：    本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．

8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，在双曲线右支上存在一点P满足PF1⊥PF2且∠PF1F2=，那么双曲线的离心率是（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    双曲线的简单性质． 

专题：    圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    利用PF1⊥PF2且，可得，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．

解答：    解：因为PF1⊥PF2且，所以，

又，

所以，即双曲线的离心率为，

故选C．

点评：    本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

9．（5分）已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA=，则直线PB的斜率kPB为（）

    A．        B．        C．    ﹣    D．    ﹣

考点：    椭圆的简单性质． 

专题：    计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    设P（m，n），则+=1．即有n2=（4﹣m2），由椭圆方程可得左右顶点A，B，再利用斜率的计算公式化简整理代入即可得到PA，PB的斜率之积，再由PA的斜率，即可得到PB的斜率．

解答：    解：由椭圆+=1 得a2=4，解得a=2，

即有A（﹣2，0），B（2，0），

设P（m，n），则+=1．

即有n2=（4﹣m2），

则kPA=，kPB=，

即有kPA•kPB=•

===﹣．

由于直线PA的斜率kPA=，

则直线PB的斜率kPB为﹣×2=﹣，

故选D．

点评：    本题主要考查椭圆的几何性质，考查斜率公式的运用，以及化简整理和代入的能力，属于中档题．

10．（5分）已知△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，平面ABC外一点，P满足PA=PB=PC=，则三棱锥P﹣ABC的体积是（）

    A．    1    B．        C．        D．    

考点：    棱柱、棱锥、棱台的体积． 

专题：    空间位置关系与距离．

分析：    由已知得棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心，CA=，外接圆半径R==，高h==1，S△ABC==1，由此能求出三棱椎P﹣ABC的体积．

解答：    解：∵PA=PB=PC=，

∴棱锥顶点P在底面投影为△ABC的外心 

∴先求外接圆半径R，

∵CA2=22+12﹣2•2•1cos90°=5，CA=，

∴R==，

∴高h==1，

S△ABC==1，

三棱椎P﹣ABC的体积V=×1×1=．

故选：B．

点评：    本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

11．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）

    A．    +=1    B．    +=1    C．    +=1    D．    +=1

考点：    圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质． 

专题：    圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1．利用，即可求得椭圆方程．

解答：    解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，

∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上

∴

又∵

∴

∴a2=4b2

∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程为：+=1

故选D．

点评：    本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．

12．（5分）直线x+y=a 与圆x2+y2=1交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若=a，则a的值为（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    直线与圆相交的性质． 

专题：    直线与圆．

分析：    联立方程得到方程组，消元得到2x2﹣2ax+a2﹣3=0，由韦达定理得x1x2，y1y2的值，再由•=a，代入可求解．

解答：    解：联立直线x+y=a与圆x2+y2=1，消掉y并整理得：2x2﹣2ax+a2﹣1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得：

x1+x2=a，x1x2=，

∴y1y2=（a﹣x1）（a﹣x2）=a2﹣a（x1+x2）+x1x2 =a2﹣a2+x1x2=．

又=a，∴x1x2+y1y2=a，代入可得a2﹣a﹣1=0，解得a= 或a=．

由题意可得∈，∴a=，

故选：B．

点评：    本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）直线3x+4y﹣6=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0截得的弦长为2．

考点：    直线与圆相交的性质． 

专题：    直线与圆．

分析：    将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长．

解答：    解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，

∴圆心（1，2），半径r=2，

∵圆心到直线3x+4y﹣6=0的距离d==1，

∴直线被圆截得的弦长为2=2．

故答案为：2

点评：    此题了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为80．

考点：    由三视图求面积、体积． 

专题：    空间位置关系与距离．

分析：    根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可．

解答：    解：根据几何体的三视图知，

该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，

∴该几何体的体积是

V组合体=V正方体+V四棱锥=43+×42×3=80．

故答案为：80．

点评：    本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题．

15．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．

其中真命题的个数是2个．

考点：    空间中直线与平面之间的位置关系． 

专题：    综合题．

分析：    分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．

解答：    解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，

∵β∥α

∴m∥α，n∥α，

而m不平行于n，故①不正确；

对于②：∵m∥α，

∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，

又∵n⊥α，m′⊂α

∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；

对于③：∵m∥β，

∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，

又∵m⊥α，得m′⊥α，

∵β经过α的垂线，

∴α⊥β，故③正确．

故答案为：2个

点评：    本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键．

16．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．

考点：    关于点、直线对称的圆的方程． 

专题：    计算题；转化思想．

分析：    把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．

解答：    解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，

∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，

根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，

把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，

则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，

∴当a=时，m有最大值，最大值为 ，即ab的最大值为 ，

则ab的取值范围是（﹣∞，]．

故答案为（﹣∞，]．

点评：    本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）．

（Ⅰ）求AB的中垂线方程；

（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．

考点：    直线的一般式方程与直线的垂直关系． 

专题：    直线与圆．

分析：    （I）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得kAB==﹣，可得线段AB的中垂线的斜率k=，利用点斜式即可得出．

（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．利用点斜式即可得出．

解答：    解：（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），

∵kAB==﹣，

∴线段AB的中垂线的斜率k=，

∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0．

（II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣．

其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0．

点评：    本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

考点：    轨迹方程． 

专题：    计算题．

分析：    （1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P=．由两点距离公式，能求出动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．由A（2，0），且N为线段AM的中点，知x1=2x﹣2，y1=2y，由M是圆x2+y2=16上的点，知M坐标（x1，y1）满足：x12+y12=16，由此能求出点N的轨迹．

解答：    解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

P=．（1分）

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为，

（3分）

平方后再整理，得x2+y2=16．（5分）

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．（6分）

由于A（2，0），且N为线段AM的中点，所以，

所以有x1=2x﹣2，y1=2y①（8分）

由（1）题知，M是圆x2+y2=16上的点，

所以M坐标（x1，y1）满足：x12+y12=16②（9分）

将①代入②整理，得（x﹣1）2+y2=4．（11分）

所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（12分）

点评：    本题考查轨迹方程，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．

19．（12分）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足•=k||2．（其中k为常数）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．

考点：    轨迹方程． 

专题：    综合题；直线与圆．

分析：    根据题意，给出=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y），由•=k||2建立关于x、y的方程，化简得（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣（k+1）=0．根据k是否等于1讨论，可得方程所表示的曲线类型．

解答：    解：（1）设动点P（x，y），可得=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y），

∵•=k||2，

∴x2+y2﹣1=k（x﹣1）2+ky2

化简得（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣（k+1）=0

①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分

②当k≠1时，方程为，

方程表示（，0）为圆心、为半径的圆．

点评：    本题给出动点P满足的条件，求P的轨迹方程，并求向量模的取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．

20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF⊥平面PCD；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

考点：    平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定． 

专题：    证明题；空间位置关系与距离．

分析：    （1）由已知可先证明AF⊥PC，由于CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，可证CD⊥平面PAD，由AF⊂平面PAD，从而证明CD⊥AF，又CD∩PD=D，故有AF⊥平面PCD．

（2）取PC的中点G，连接EG，GF，可证EG∥AF，有AF⊥平面PCD，又EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE，故可证平面PCE⊥平面PCD．

解答：    证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，AD，CD⊂底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥CD

又∠PDA=45°，∴△PAD为等腰三角形，∵F是FD的中点，∴AF⊥PC…2分

∵CD⊥AD，PA⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD

又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，

又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD…5分

（2）

取PC的中点G，连接EG，GF…8分

∵E为AB的中点，∴EA∥CD且EA=CD

∵F为PD的中点，∴GF∥CD且GF=CD

∴EA∥GF且GF=EA，∴四边形AEGF是平行四边形…10分

∴EG∥AF，∵AF⊥平面PCD

∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE

∴平面PCE⊥平面PCD…12分

点评：    本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．

21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，AB⊥AF2．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率．

（Ⅱ）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

考点：    椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 

专题：    圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：    （I）设B（x0，0），由F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），由=，可得x0=﹣3c．由AB⊥AF2，可得=﹣3c2+b2=0，再利用a2=b2+c2．即可得出．

（II）由（1）知，得．由题意知△ABF2为直角三角形，BF2为斜边，△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a．D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于2a，圆心到直线的距离为a，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答：    解：（I）设B（x0，0），由F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b），

∵满足=，

∴（﹣c﹣x0，0）=（2c，0），∴﹣c﹣x0=2c．

解得x0=﹣3c．

∵AB⊥AF2，=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b）．

∴=﹣3c2+b2=0，

∴a2=b2+c2=4c2．

∴a=2c．

故椭圆C的离心率．

（II）由（1）知，得．

可得B，．

由题意知△ABF2为直角三角形，BF2为斜边，

∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a．

D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于2a，

∴圆心到直线的距离为a，

∴，解得a=2，

解得c=1，b=．

∴椭圆C的方程为．

点评：    本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的外接圆的性质、点到直线的距离公式、直角三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

考点：    直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 

专题：    综合题．

分析：    （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．

解答：    解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以 ．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

点评：    本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．