云南省昆明一中2009届高三数学8月月考试题(文科)试题 人教版

命题：李建民 审题：汤丹

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试用时120 分钟。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2

4R S π= 如果事件A 、B 相互，那么 其中R 表示球的半径 P(A ﹒B)=P(A)﹒P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P, 33

4R V π=

那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

k n k

k n n P P C k P --=)1()(

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}

0)1(≥-=x x x P ，=Q ｛1

1

-x x

＞0｝，则=⋂Q P A ．φ B ．｛x x ＞1｝ C ．{}

1≥x x D ．｛1≥x x 或x ＜0｝

2、定义映射f ：A →B ，若集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为x

3log ，则A 中元

素9的象是

A ．一3

B ．一2

C ．2

D ．3 3、若直线02=+y ax 与直线1=+y x 垂直，则a= A ．一2 B ．一1 C ．1 D ．2

4、已知53

sin ),,2(

=

∈a a ππ

，则=a tan

A ．34-

B ．4

3- C ．43 D ．34

5、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A ．3

x y =，x ∈R B ．x y sin =，x ∈R

D ．x

y )2

1(=，x ∈R

6．已知a>b ，则下列不等式中正确的是 A ．

a 11 B ．2a >2

b C ．b a +>ab 2 D ．22b a +>ab 2 7、已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且a l ，a 3，a 2成等差数列则q= A ．2- B ．21-

C ．1或2

1

- D ．1 8、二次方程)0(,0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： A 、a <0 B 、a >0 C 、a <1- D 、a >1

9、设b a ,为两条直线，β,a 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

A 、若a ，b 与a 所成的角相等，则a ∥β

B 、若a ∥a ，b ∥β，a ∥β，则a ∥b

C 、若a a ⊂，β⊂b ，a ∥b ，则a ∥β

D 、若a ⊥a ，b ⊥β，a ⊥β，则a ⊥b 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4

1

cos =C ，·2-=且 b a +=5，则c=

A 、5

B 、13

C 、4

D 、17

11、已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)(1

x f y -=，且

)1(+=x f y 的图象过A(一4，0)，B(2，3)两点，若3)1(1

≤+-x f ，则x 的取值范围

是

A 、[一4，2]

B 、[一1，2]

C 、[0，3]

D 、[1，3]

12、从l ，2，3，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的 概率是 A ．94 B ．95 c ．2110 D ．21

11

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上． 13、某中学要召开全校教职工代表大会，要求从300名教职工中选出60名代表，按照分 层抽样方法，分别从教师、后勤人员、行政人员中选举代表。若最终教师代表共36名， 则该校共有教师 名。

14．抛物线2

2x y =的焦点坐标是 ．

15．

6

)1x

x +（的展开式中，常数项为 ．(用数字作答)

16．长方体一个顶点上三条棱的长分别是1、2、3，且它的所有顶点在同一个球面上，则 这个球的表面积是

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．(本小题满分10分)

设函数q p x f ⋅＝)(，其中向量)sin cos ,(sin x x x p +=，R x x x x q ∈-=)sin cos ,cos 2( (I)求函数)(x f 的最大值； (II)求函数)(x f 的单调递增区间．

18．(本小题满分12分)

如右图在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是

OD ′，BD 中点，G 在棱CD 上，且CD CG 4

1

=。 (I)求证：EF ⊥B ′C ：

(II)求EF 与C ′G 所成的角的余弦值。

19．(本小题满分12分)

甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红 球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。 (I)求取到的4个球全是白球的概率；

(II)求取到的4个球中至少有2个红球的概率。

20．(本小题满分12分)

在等差数列{}n a 中，公差d ≠0，32=a ，1a ，3a ，7a 成等比数列． (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)若数列{}n a 满足n

n na c 1

=，其前n 项和为n S ，求证：n S <1 21．(本小题满分12分)

已知双曲线b b

y x (122

2

=-＞0)的两条准线间的距离为1．

(I)求双曲线的方程：

(II)直线，过坐标原点O 且和双曲线交于两点M ，N 点P 为双曲线上异于M ，N 的一 点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求PM k ·PN k 的值．

22．(本小题满分12分) 已知函数c bx ax x x f +++=

23

3

2)( (I)若函数)(x f 在x=1时有极值且在函数图象上的点(0，1)处的切线与直线 03=+y x 平行，求)(x f 的解析式；

(II)当)(x f 在x ∈(0，1)取得极大值且在x ∈(1，2)取得极小值时，设点

)1,2(+-a b M )所在平面区域为S ，经过原点的直线L 将S 分为面积比为l ：3的两部分，

求直线L 的方程．

文科数学参及评分标准

注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上 13、180 14、)8

1,0( 15、20： 16、 14n π。

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程． 17、解：(I)∵)sin cos ,cos 2(),sin cos ,(sin x x x q x x x p -=+=， ∴)(x f =p ·q=)sin cos ,(sin x x x +·)sin cos ,cos 2(x x x - x x x x 2

2

sin cos cos sin 2-+=

x x 2cos 2sin += )4

2sin(2π

+

=x

∴ 函 数 )(x f 的 最 大 值 为2 (II)由)(2

24

22

2Z k k x k ∈+

≤+

≤-π

ππ

π

π

得)(8

23Z k k x k ∈+≤≤-

π

πππ， ∴函数)(x f 的单调递增区间为)(8,83Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+-

ππππ． 18、解：如图建立空间直角坐标系O 一xyz ，取顶点D 为

坐标原点O 依题已知有

)0,2

1

,

21(,21,0,0F E ⎪⎭

⎫ ⎝⎛， )1,1,1()0,1,0(1B C )0,4

3,0()1,1,0(1G C

(Ⅰ)证明： 因为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,21,2121,0,00,21,21

)1,0,1()1,1,1()0,1,0(1--=-=B

所以02

1

0211=++-

=⋅B ， 得C B EF 1⊥ 所以C B EF 1⊥ (II)解：因为⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,41,0)1,1,0(0,43,

01C

所以83218101=+-

=⋅C

4

17116123=+==

所以51

51

311=⋅⋅=

G C EF G C EF

19、解：（Ⅰ）509252325241=⋅=C C C C P ，（Ⅱ）50

17

252

225142522252425121325142

=⋅+⋅+⋅⋅=C C C C C C C C C C C C C P 20、解：(I)数列{}n a 的公差为d ，则d a d a d a 53,3,3731+=+=-=

∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴)53)(3()32d d d +-=+（，得d=0(舍去)或d=1 ∴1)2(2+=-+=n d n a a n 。 (Ⅱ)有（Ⅰ）知)

1(1

+=

n n c n

∴1

11)111()3121()211()1(1321211+-=+-⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

n n n n n S n ＜1 21、解：(I)依题意有：12

=a

12

=c

解得32

=b ． 所以双曲线方程为13

2

2

=-y x ． 2

22c b a =+。

(II)解：设M ),00y x （，由双曲线的对称性，可得N(),00y x --（)．设P ),p p y x （， 则2

2

2

20000x x y y x x y y x x y y k k P P P P P P PN

PM --=++⋅--=⋅ 又：13

2

020

=-y x ， 所以332

020-=x y ． 同理3322-=P P x y ， 所以333332

2202=-+--=⋅x x x x k k P P PN

PM 22、解：解：(I)．b ax x x f ++='22)(2

，函数)(x f 在1=x 时有极值，

∴2a+b+2=0 ∵)0(f =1 ∴c=1

又∵)(x f 在(0，1)处的切线与直线03=+y x 平行， ∴3)0(-==b f 故 2

1=

a ∴132

132)(2

3+-+=

x x x x f (II)解法一：由b ax x x f ++='22)(2

及)(x f 在x ∈(0，1)取得极大值且在

x ∈(1，2)取得极小值， )0(f '>0 b ＞0 ∴ )1(f '<0 即 22++b a <0 令),(y x M ， 则

)2(f '>0 84++b a ＞0

2-=b

1+=a y

1-=y a 2+x ＞0

∴ ∴ 22++x y <0 故点M 所在平面区域S 为如图△ABC ， 2+=x b ++x y ＞0

易得)0,2(-A ，B(2-，1-)， C(2，2-)，D(0， 1-)， E(23,0-

)， 2=∆ABC S 同时DE 为△ABC 的中位线，ABED DEC S S 四边形3

11=-∆ ∴所求一条直线L 的方程为：0=x

另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1：3的两部分，设直线L 方 程为kx y =，它与AC ，BC 分别交于F 、G ， 则k>o ，1=ABED S 四边形

kx y =

由 得点F 的横坐标为：1

22+-=k x F 022=++x y

kx y =

由 得点G 的横坐标为：1

46+-

=k x G 0=++x y ∴2

11211463121⨯⨯-+⨯⨯=

+=∆∆K S S S OFD OGE ABED 四边形 即052162=-+k k 解得：21=k 或 8

5-=k (舍去)故这时直线方程为：x y 2

1= 综上,求直线方程为：0=x 或x y 21= (II)解法二：由b ax x x f ++='22)(2及)(x f 在x ∈(0，1)取得极大值且在

x ∈(1，2)取得极小值，

)0(f '>0 b ＞0

∴ )1(f '<0 即 22++b a <0 令),(y x M ， 则

)2(f '>0 84++b a ＞0

2-=b

1+=a y

1-=y a 2+x ＞0

∴ ∴ 22++x y <0 故点M 所在平面区域S 为如图△ABC ， 2+=x b ++x y ＞0

易得)0,2(-A ，B(2-，1-)， C(2，2-)，D(0， 1-)， E(23,0-

)， 2=∆ABC S 同时DE 为△ABC 的中位线，ABED DEC S S 四边形311=

-∆ ∴所求一条直线L 的方程为：0=x

另一种情况由于直线BO 方程为：x y 21=

，设直线BO 与AC 交于H ， x y 2

1= 由 得直线L 与AC 交点为：)2

1,1(--H

022=++x y ∴2=∆ABC S ， 2

122121=⨯⨯=

∆DEC S ， 2

1212211221=⨯⨯-⨯⨯=-=∆∆∆AOH ABO ABH S S S ∴所求直线方程为：0=x 或x y 21=