2021年中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用(含答案)

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于    (　　)

A.5                    B.6                    C.7                    D.8 

2. （2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（    ）

A.     B. 25    C. 35    D. 63

3. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（     ）

A．（﹣1，﹣1）       B．（）        C．（）      D．（﹣2，﹣1）

4. (2019•巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=

A．2∶3    B．3∶2

C．9∶4    D．4∶9

5. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为(     )

A. (，2)            B. (2，2)            C. (，2)            D. (4，2)

6. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是

A.四边形NPMQ         B.四边形NPMR      

C.四边形NHMQ         D.四边形NHMR 

7. (2019•贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于

A．5    B．6

C．7    D．8

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

9. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）

A．1    B．2    C．5    D．

10. （2020·）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为    （　　）

A．    B．5    C．    D．10

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为　　　　. 

12. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为　　　　m.  

13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是          ．

14.  如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

15. (2019•泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．

16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，，则______，______．

17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

18. （2020·长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.

(1) ＝____________．

(2)若,则＝____________．

三、解答题（本大题共4道小题）

19. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 

20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，求DE的长.

21. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.

(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；

(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．

22. 已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.

(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求的值.

(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；

(3)如图③，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值.

图① 图② 图③ 

2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】B　[解析]∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，即=，解得BC=6，故选B. 

2. 【答案】B

【详解】解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故选：B．

3. 【答案】B

【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝，可得C（）因此本题选B．

4. 【答案】D

【解析】设，∵，∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，

∵点F是BC的中点，∴，

∵，∴，

∴，故选D．

5. 【答案】B

【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，

∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，

∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．

6. 【答案】A

【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连接DO并延长DO至Q，可知，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.

7. 【答案】B

【解析】∵，∴，

∴，即，解得：，故选B．

8. 【答案】A　【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，＝，解得x＝1，∴DE的长为1. 

9. 【答案】C

【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，

∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG，∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，

∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，

∴BG＝xx，∴BC2＝BG2+CG2，

∴，因此本题选D．

10. 【答案】A

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．

又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．

在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 【答案】　[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，

∴=，即=，

∴AC=或AC=-(舍去). 

12. 【答案】54 

13. 【答案】（，2）

【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．

14. 【答案】

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．

15. 【答案】

【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，

∵在等腰中，，，

∴，，

∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，

∴，

∴CH=AC–AH=15–DH，

∵，∴，

又∵∠ANH=∠DNF，∴，

∴，∴，

∵，CE+BE=BC=15，∴，

∴，

∴，

∴，故答案为：．

16. 【答案】2　－1

【解析】设BE＝x，则AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折叠得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵点D，F，E在同一条直线上，∴DF＝DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴＝．∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1．经检验，x1＝－1，x2＝－－1都是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝－1，即BE＝－1．

17. 【答案】78　【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE＝×20＝12.

法一：BC·AH＝AB·AC，AH＝＝＝12，S△ABE＝×12×13＝78.

法二：DE＝＝9，由△CDE∽△CAH可得，＝，∴AH＝＝12，S△ABE＝×12×13＝78.

18. 【答案】1；

【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，

（1）作EH⊥MN，又∵MN是直径，NE平分∠MNP，PQ⊥MN，∴易证出PE＝EH＝HF＝PF，EH∥PQ，∴△EMH∽△PMQ，∴，∴；

（2）由相似基本图射影型得：解得又∵，∴QN＝PM，设QN＝PM＝a，MQ＝b，由相似基本图射影型得：解得，∴解得或（舍去）∴；

因此本题答案为1；．

三、解答题（本大题共4道小题）

19. 【答案】

解：设这个正方形零件的边长为x mm，则△AEF的边EF上的高AK＝(80－x)mm．

∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥GH，即EF∥BC．∴△AEF∽△ABC．

∴，即．∴x＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm．

20. 【答案】

解:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.

∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠D，∴CD=BC=6.

在Rt△ABC中，AC===8.

∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，

∴====，

∴CE=AE，DE=BE，即CE=AC=×8=3.

在Rt△BCE中，BE===3，

∴DE=BE=×3=. 

21. 【答案】

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD(ASA)；

(2)解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，

∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.

∴在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD(ASA)，

∴BE＝CD.

∵DH⊥AB，

∴∠DHA＝90°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠ADH＝30°，

∴AD＝2AH，

∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，

解图

∵AC＝6，BE＝2，

∴由(2)得AH＝4，BH＝2, 

与(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，

∵∠SCD＝∠ACB＝60°，

∴∠CDS＝30°，

∴CS＝1，SD＝，BS＝7，

∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，

∴BD＝2，

∵EK∥BD，

∴△CBD∽△CEK，

∴＝＝，

∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.

∵HM∥AC，

∴∠HMB＝∠ACB＝60°，

∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2，

CM＝CB－BM＝4，

又∵HM∥AC，

∴△HMG∽△KCG，

∴＝，

即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，

∵EK∥BD，

∴△GBP∽△GEK，

∴＝，

∴BP＝. 

22. 【答案】

(1)过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图①

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGD是等边三角形，

∴AD=GD，

由题意知CE=AD，

∴CE=GD

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，

在△GDF与△CEF中，

，

∴△GDF ≌△CEF（AAS），∴CF=GF，

∵DH⊥AG，

∴AH=GH，

∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，

∴=2；

(2)如解图②，过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图②

由题意知，点D，E的运动速度之比是:1，

∴

∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴

∴

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，

在△GDF 和△CEF中，

∴△GDF ≌△CEF（AAS），

∴CF=GF，

∵∠ADH=∠BAC=30°，

∴AH=HD，

∵∠AGD=∠HDG=60°，

∴GH=HD，

∴AH=HG，

∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，

∴=2；

(3)如解图③，过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图③

∵DG∥BC，

∴△AGD∽△ACB，

∴

∵∠ADH=∠BAC=36°，AC=AB，

∴∠GHD=∠HGD=72°，

∴GD=HD=AH，

∴

∵AD=CE，

∴

∵DG∥BC，

∴△GDF∽△ECF，

∴

∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），

即HF=m（AC-HF），

∴