2013年理科数学高考题(全国卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)

数学(理科)

                      第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A.        B.          C.          D. 

2.设复数满足，则

A.            B.        C.        D. 

3.等比数列的前项和为，已知，，则

A.            B.             C.            D. 

4.已知为异面直线，平面，平面.直线满足，，，，则

A.且                          B.且        

C.与相交，且交线垂直于              D.与相交，且交线平行于

5.已知的展开式中的系数为5，则

A.            B.            C.        D. 

6.执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的

A.    B. 

C.    D. 

7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为

8.设，，，则

A.           B.           C.         D. 

9.已知，满足约束条件若的最小值为1，则

A.                 B.                 C.1                D.2

10.已知函数，下列结论中错误的是

A.               B.函数的图像是中心对称图形

C.若是的极小值点，则f(x)在区间单调递减

D.若是的极值点，则

11.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的园过点，则的方程为

A.或                   B.或  

C.或                   D.或

12.已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是

A.       B.       C.     

                                 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知正方形的边长为2，为的中点，则_______.

14.从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则________.

15.设为第二象限角，若，则_________.

16.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在内角、、的对边分别为，，，已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

18.如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.

以（单位：，）表示下一个销售季度内

的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经

销该农产品的利润.

（Ⅰ）将表示为的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值

代表该组的各个需求量落入该区间的频率作为需求量取该

区间中点值的概率（例如：若则取，且的概率等于需求量落入的概率，求利润的数学期望.

20.（本小题满分12分）

平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲                   

如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆.

（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；

（Ⅱ）若，求过四点的圆

的面积与外接圆面积的比值.  

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知动点，都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点.

（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.

24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.