《排列与组合》的常见题型与解题方法(含答案)

一、特殊优先： 对有特殊元素（即被的元素）或特殊位置（被的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

例1．（1）由0、1、2、3、4可以组成          个无重复数字的三位数。

（2）  由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有          个。

（3）  5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有          种。

二、捆绑法：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。

例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有      种。

（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有     种。

三、插空法：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。

例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有    种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有        种。

四、间接法（即逆向思考）：先算暂时不考虑条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有      个。

（2） 由0、1、2、3、4、可以组成          个无重复数字的三位数。

（3）集合有8个元素，集合有7个元素，有4个元素，集合有3个元素且满足下列条件：的集合有几个。

（4）从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？

五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5（1）用1、2、3、9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有       个。

（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有      种不同的奖法。

（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有      种分配方法。

六、定序问题：对某些元素有顺序的排列，可以先不考虑顺序排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。

例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有      种。

（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有        个。

（3）书架上放有5本书（1～5册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有           种放法。

七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结

果又易理解。

例7．（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有          种放映次序。

（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有           种。

（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有            种。

八、分情况研究（即分类计算）：复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法,分情况研究求得结果。

例8．（1）从编号为了1、2、3  9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？

（2）用0、1、2、39这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？

（3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140

是第几个数？

九、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（分堆）的区别。

例9．（1）将12本不同的书

Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有       种分法。

Ⅱ、平均分成三堆，有       种分法。

（2）7本不同的书

Ⅰ、全部分给6个人，每人至少一本，共有      种不同的分法。

Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有      种不同的分法。

（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？

a、甲一本、乙二本、丙三本；有       种分法。

b、一人一本、一人二本、一人三本；有       种分法。

c、甲一本、乙一本、丙四本；有       种分法。

d、一人一本、一人一本、一人四本；有        种分法。

《排列与组合》 (思考方法全训练)

一．特殊优先

1．现有6名同学站成一排：

（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？

（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？

2．用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？           

二．插空法

3．有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？

4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有    种排法；（2）男女相间有    种排法。

三．捆绑法

5．由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起，则不同的5位数共有_________个。

6．有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有       种。

四．间接法

7．某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为________。

8．6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？

五．先组后排

9．有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有         种参加方式。

10．从两个集合和中各取两个元素组成一个四位数，可组成     个数。

六．定序问题

11．书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有      种放法。

12．9人（高矮不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种     排法。

七．对象互调

13．某人射击8命中4，这4中恰有3连在一起的不同种数是           。

14．三个人坐在一排7个座位上，

（1）若3个人中间没有空位，有          种坐法。

（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有        种坐法。

八．分情况（即分类）

15．用组成无重复数字的5位数，若按从小到大的顺序排列，则数12340是第_____个数。

16．某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？

九．分配、分组问题

17．一般地，现有本不同的书，

①分给甲、乙、丙三人，甲得本、乙得本、丙得本，则有         种分法。

②分给三人，一人得本、一人得本、另一人得本，则有          种分法。

③分给三人，甲、乙各得本、丙得本，则有          种分法。

④分给三人，其中二人各得本，另一人得本，则有           种分法。

⑤分成三堆，一堆本、一堆本、一堆本，则有            种分法。

⑥分成三堆，有二堆各本，还有一堆本，则有              种分法

《排列与组合》 (思考方法1～8训练)

1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同的站法共有         种(用数字作答)。

2．翰林39. 398人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有______           

种.

3．现有6张同排连座号的电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法数为________.  

4．在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有   ________种。

5．现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是___________.(写出具体数字)

6．将A、B、C、D、E、F排成一排，其中按A、B、C顺序（即A在B前，C 在B 后）的排列总数为         。

7．如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有        。

8．（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻

   地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着

   色方法共有           种。（以数字作答）

（2）同室人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这张贺年卡不同的分配方式有__________种。

排列与组合 (思考方法全训练) 参

1．（1）法一：（先考虑特殊元素甲）种；法二：（先考虑特殊位置头尾）种；

（2）法一： (甲在尾)+ (甲不在尾)=120+384=504； (或法二：种)； 

2．先考虑首位再其它：。

3． ；4．（1）；（2）。

5．；   6．。

7．令小组中的女生数为，则：；  8．。

9． ；10． 。

  11． （即）；12．。

13．；14． （1）；（2）。

15．； 16．。

17．（1）①由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有个，而每一个数的各位数字之和都是，所以所有四位数的数字之和是。

②如2在个，十，百，千位上的情况各有次，同理3，5，7的情况与2相同，所以这些数的和为：。

（2）不含2的有：；不含5的情况也为：，故共有36无重复数字且能被3整除的四位数。

18．（1）∵由，∴这50个自然数中有3个是13  的倍数，∴有种取法。（2）① ∵，∴正约数有： 个。

② ∵，∴正约数有： 个。

19．分析：① 先甲，再乙，后丙，则有（种）。

② 将①中甲、乙、丙的顺序变化，则有（种）。

③ 先甲，再乙，后丙，则有（种）。

④ 在③中将甲、乙、丙看成三堆：，再将此三堆全排列：（种）。

20．①；②；③（或写成）；④；⑤；⑥

排列与组合(思考方法1～8训练) 参

1． ）即：先前，再后）；2．；3．2A3A3=72；4．；5．   （即：先组，再捆，后排）；6．120；7．56；8．（1）；（2）9．

例4（3）集合A和B分别有8个和7个元素，A∩B有4个元素，集合C有3个元素，且满足下列条件：CA∪B，C∩A≠○，C∩B≠○，满足条件的集体C共有几个?

分析：此题将组合和集合的基础知识综合在一起，首先要将元素分类，并确定A∪B中元素个数，然后采用直接或间接法解答.

解：由题设，A∪B中元素个数为8＋7－4＝11个.

这11个元素应分为三类(如图10－3－1)，所求C的个数为：

CC＋CC＋C＋CCC＋CCC＝160(个).                    另解：C－C－C＝160(个).                

例7（2） 让5个空椅子排成一排,中间形成四个空位,再让这3个人带着自己的椅子坐在4个空位中的3个位置,有A4^3=24. 

   8个位坐3个人后就是3个人+5个空位，问题可以这样转化，5个空位之间有4个间隙，现在要把3个人放入这4个间隙里，方法有C（4 3）=4 ×3×2=24种.

如果直接从人坐位子的角度去想比较难想。 所以可以反过来想，先用7个位子坐上3个人，这种坐法是一定的（两边必须有空），只是人可以排列，所以先是A(3 3), 剩下一个位子，可以插在4个空挡里（就是三个人一共会留下四个空。）

例7（3）我先排的空位

第一种情况2个相连空位在两边（即已经固定3个位置了）：A31*2=6

第二种情况2个相连空位不贴边（则固定了4个位置，看做一个整体）：A32=6

所以是12种排法

然后每种排法3个人座位位置全排列A33=6

12*6=72种

恰有2个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排3个人，然后插空：

A（3，3）*A（4，2）=3！*4*3=6*12=72种