求函数值域的方法总结

求值域的常用方法

1、观察法2、反函数法3、分离常数法4、配方法5、判别式法

6、单调性法7、基本不等式法8、数形结合法9、换元法

例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 求函数的值域（1）y=        （2）y=3-

2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c  (a≠0)的函数的值域与最值

例2、求函数的值域（1）y=-2x+5，x[-1，2]   （2）y = sin2x - 6sinx + 2（3）y=cos2x-6sinx+2

3、判别式法一般地，求形如 y = 的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：　f(y)x2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：

⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；

⑵由于在变形过程中涉及到去分母，应考虑函数的定义域是否为R；

⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。

   例3 求函数y=的值域。

4、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

          例4 求函数y=值域。

5、函数有界性法:直接求函数的值域困难，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5求函数y=的值域

例6 求函数的值域。(1)              (2) y=

6、函数单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。

例7 求函数y= （2≤x≤10）的值域

例8  求函数y=-的值域。

7、换元法

 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例9 求函数y=x+的值域。

例10 求函数y=的值域

  例11 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈的值域

   8 数形结合法  其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

 例12 求函数y=+的值域。

例13 求函数y=+ 的值域

 9 、不等式法 利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例14  求函数y=的值域

10、导数法

例15求函数在区间上的最大值与最小值。

例16求函数的值域

求下列函数的值域：

（1）；    （2）；    （3）；

（4）；   （5）；       （6）；

（7）；   （8）； （9）．

2．函数的值域为                ．

3．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则               ．

4、已知（是常数），在上有最大值3，那么在上的最小值是                                                                      

5、函数在区间[－1，5]上的最大值是______        

6、已知函数的值域为[－1，4]，求常数的值。

7、若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=                ．                               

8、函数上的最大值与最小值之和为a,则a=