2014年全国高中数赛江苏赛区初赛试题word版

（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）

1．若，则函数的最小值是          ．

2．已知函数．若，则的值是          ．

3．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，则数列的通项          ．

4．若函数是奇函数，则实数的值是          ．

5．已知函数．若关于的方程的实根之和为，则的值是           ． 

6．设、都是锐角，且，，则等于          ．

7．四面体中，，，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为          ．

8．若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围是          ．

9．设集合，，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是            ．

10．如果正整数可以表示为(，)，那么称为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为           ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知，，为正实数，，，求的值．

12．已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，求双曲线C的离心率．

13．如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点．以为直径的半圆交的延长线于点．求证：．

14．（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．