中考数学专题：几何压轴题

1．在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△(使＜180°)，连接、，设直线与AC交于点O.

(1)如图①，当AC=BC时，:的值为     ；

(2)如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；                

(3)在(2)的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.

图①                                    图②

答案：1；……………………………………………………………………………………………1分

（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB．∴．

由旋转图形的性质得，,∴．

∵,∴即．

∴∽.∴．……………………………………………………4分

（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=2．

∵E为BC中点，∴CE=BC=2．

△CDE旋转时，点在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动．

∵CO随着的增大而增大，

∴当与⊙C相切时，即=90°时最大，则CO最大．

∴此时=30°，=BC=2 =CE．

∴点在AC上，即点与点O重合．∴CO==2．

又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3．

∴．………………………………………………………………8分

2．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．

(1)如果和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是        三角形．

(2)在和中，若BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是    三角形，且            .

(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

答案：（1）等腰直角    ………1分

       （2）等腰   ………2分        ………3分

       （3）结论仍然成立    ………4分

  证明： 在

∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB.……5分

∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.

∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.……6分

∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=.……7分

3．图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合)．

(1)固定△，将△绕点顺时针旋转得到△，连结(如图2)．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)设图2中的延长线交于，并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△设为△(如图3)．设△移动(点在线段上)的时间为x秒，若△与△重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

图1                图2                图3                 图4

(3)若固定图1中的△，将△沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N(如图4)．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由．

答案：（1）.      ………………………………………………………………1分

证明：如图2，∵△与△都是等边三角形，△绕点顺时针旋转30°得到△，

∴△也是等边三角形，且，

∴, .  …………………………………2分

∴,∴,∴.∴△≌△，

∴ . ……………………………………3分

（2）如图3，设分别与交于点.

∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，

平移后的△为△，.

由（1）可知，，

..

,.在中，，.

.…………………………………………………………4分

过点作于点.

在中， ，

.

.     ……………………………………5分

，.

当点与点重合时，，∵，∴.

∴此函数自变量x的取值范围是 .    …………………………………………6分

（3）的值不变 .          ……………………………………………………7分

证明：如图4，由题意知，，∴，

在中，，∴.

又∵，

∴△∽△，∴．

∵点是的中点，，∴，

∴，∴．     …………………………………………………8分

4． 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．

(1)如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是               ，

线段AM与DE的数量关系是             ；

(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

答案：（1）， 

 　　（2）结论仍然成立。

证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结． 

，．

在与中：

(SAS) .BF=DE, .

. .

又CA=AF,  CM=MB，

AM // FB 且AM=FB，, AM=DE． 

5． (1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;

 (2) 如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 

(3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

答案：（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.   

∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°, AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.

∴AG＝AF, ∠1＝∠2．     --------------------1分

∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.

∴EG＝EF．                  -----------------2分

∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD                      --------3分

(2) (1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立.        ---------------------------4分

（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE-FD．--------------------5分

证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．

∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．        

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF =∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF        ---------------------6分

∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．   ---------------------7分

6． (1)如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．

答案：（1）如图１，延长至，使．

可证明是等边三角形．         ……………………………………………1分

联结，可证明≌．  ……………………………………………2分

故．……………………………………………3分

（2）如图２，在四边形外侧作正三角形，

     可证明≌，得．…………………………………………4分

∵ 四边形符合（1）中条件，∴ ．………………………5分

联结，

ⅰ）若满足题中条件的点在上，则．∴ ．

∴  ．         ……………………………………………6分

ⅱ）若满足题中条件的点不在上，

∵ ，∴ ．

∴ ．           ……………………………………………7分

综上，．        ……………………………………………8分