数学专升本考试试题[1]

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（   ）

A．                     B． 

C．                     D． 

2．曲线在内是（   ）

A．处处单调减小                 B．处处单调增加

C．具有最大值                   D．具有最小值

3．设是可导函数，且，则为（   ）

A．1                            B．0

C．2                            D． 

4．若，则为（   ）

A．                           B． 

C．1                            D． 

5．设等于（   ）

A．                         B． 

C．                          D． 

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。

6．设，则=           ．

7．设，则            ．

8．，则         ．

9．设二重积分的积分区域D是，则           ．

10． =             ．

11．函数的极小值点为            ．

12．若，则           ．

13．曲线在横坐标为1点处的切线方程为             ．

14．函数在处的导数值为              ．

15．           ．

三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）

求函数的间断点．

17．（本题满分6分）

计算．

18．（本题满分6分）

计算．

19．（本题满分6分）

设函数，求．

20．（本题满分6分）

求函数的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线的极值点．

22．（本题满分6分）

计算．

23．（本题满分6分）

若的一个原函数为，求．

24．（本题满分6分）

已知，求常数的值．

25．（本题满分6分）

求函数的极值．

26．（本题满分10分）

求，其中D是由曲线与所围成的平面区域．

27．（本题满分10分）

设，且常数，求证：．

28．（本题满分10分）

求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．

参

一、选择题

1．B     2．B     3．D     4．D     5．D

二、填空题

6．                          7． 

8．                            9． 

10．                            11． 

12．5                              13． 

14．                        15．0

三、解答题

16．解  这是一个分段函数，在点的左极限和右极限都存在．

       故当时，的极限不存在，点是的第一类间断点．

17．解 原式=．

18．解  设．

        由于是初等函数的可去间断点，

        故   

                      ．

19．解 首先在时，分别求出函数各表达式的导数，即

       当时， 

       当时，．

       然后分别求出在处函数的左导数和右导数，即

       从而，函数在处不可导．

       所以

20．解  

            ①

                                ②

        又由①解得

        代入②得

21．解  先出求的一阶导数： 

        令  即  解得驻点为．

        再求出的二阶导数．

        当时，，故是极小值．

        当时，，在内，，在内

        故  不是极值点．

        总之  曲线只有极小值点．

22．解    

23．解  由题设知

        故

                    ．

24．解    

        又  

        故    解得．

25．解    

        解方程组得驻点

        又  

        对于驻点，故

            驻点不是极值点．

        对于驻点

        故  ，又．

         函数在点取得极大值

26．解  由与得两曲线的交点为与

        的反函数为．

27．证  

于是．

28．解 （1）先求函数的定义域为．

       （2）求和驻点：，令得驻点．

     （3）由的符号确定函数的单调增减区间及极值．

     当时，，所以单调增加；

     当时，，所以单调减少．

     由极值的第一充分条件可知为极大值．

     （4）求并确定的符号：

     ，令得．

     当时，，曲线为凸的；

     当时，，曲线为凹的．

     根据拐点的充分条件可知点为拐点．

这里的和的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。

另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

    函数的单调增加区间为；

    函数的单调减少区间为；

    函数的极大值为；

    函数的凸区间为；

    函数的凹区间为；

    函数的拐点为．

    （5）因为， 

    所以曲线有

    水平渐近线

    铅垂渐近线 

    （6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．