北京市2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，，则集合是(     )

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

利用补集和交集的定义可求出集合.

【详解】集合，，，则，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

2.抛物线的焦点坐标为（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得： ，即焦点坐标为 .

本题选择B选项.

3.下列直线与圆相切的是（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.

【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，

圆心坐标为，圆心与原点连线的斜率为，

所以，圆在原点处的切线方程为.

故选：A.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.

4.已知、，且，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.

【详解】对于A选项，取，，则成立，但，A选项错误；

对于B选项，取，，则成立，但，即，B选项错误；

对于C选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C选项正确；

对于D选项，取，，则，但，D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.

5.在的展开式中，的系数为（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可计算出的系数.

【详解】的展开式通项为，令，得.

因此，的系数为.

故选：A.

【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.

6.已知平面向量、、满足，且，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

由等式得，等式两边平方可求出的值.

【详解】由可得，等式两边平方得，即，

因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.

7.已知、、是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（   ）

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.

【详解】如下图所示，将平面、、视为三棱柱的三个侧面，设，将、、视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“”“”；

另一方面，若，且，，由面面平行的性质定理可得出.

所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.

8.已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理计算出，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.

【详解】如下图所示：

点在边上，且，，

由余弦定理得，整理得，

，解得，，则，

由正弦定理得，所以，.

由余弦定理得，同理可得，

则.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

9.声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ）

A. 倍    B. 倍    C. 倍    D. 倍

【答案】B

【解析】

【分析】

设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，根据题意得出，，计算出和的值，可计算出的值.

【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，

由题意可得，解得，

，解得，所以，，

因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，

故选：B.

【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.

10.若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②③    B. ②③    C. ①③    D. ①②

【答案】D

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.

【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可证，，则，.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；

对于命题②，，则平面的一个法向量为，

，令，解得，

所以，存在点使得平面，命题②正确；

对于命题③，，令，

整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.

故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.在等差数列中,若,则     .

【答案】

【解析】

试题分析：设等差数列的公差为，由已知得，所以，所以．

考点：等差数列的通项公式.

12.若复数，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.

【详解】，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.

13.已知点，点、分别为双曲线的左、右顶点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据为等边三角形求出的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率.

【详解】由于为正三角形，则，得.

所以，双曲线的半焦距为，因此，该双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.

14.已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.

【详解】，.

当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；

当时，令，可得，

当时，，当时，，

此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.

15.用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

【答案】    (1).     (2). 

【解析】

【分析】

根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出和的值.

【详解】由表格中的数据可知，，

函数的最小正周期为，，，当时，则，解得，

则，，

.

故答案为：；.

【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

16.已知曲线（为常数）.

（i）给出下列结论：

①曲线为中心对称图形；

②曲线为轴对称图形；

③当时，若点在曲线上，则或.

其中，所有正确结论序号是_________.

（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可）

【答案】    (1). ①②③    (2). 均可

【解析】

【分析】

（i）在曲线上任取一点，将点、、代入曲线的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；

（ii）根据时，配方得出，可知此时曲线为圆，且圆的面积为，从而得知当时，曲线所表示的图形面积小于.

【详解】（i）在曲线上任取一点，则，

将点代入曲线的方程可得，

同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.

当时，，反设且，

则，，所以，，则，

所以，，这与矛盾.

假设不成立，所以，或，命题③正确；

（ii）当时，曲线的方程为，即，即，

此时，曲线表示半径为的圆，其面积为.

当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积.

故答案为：①②③；均可.

【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间；

（Ⅱ）由，，结合题意得出，即可求出实数的最小值.

【详解】（Ⅰ），

因为的单调递增区间为， 

令，得. 

所以函数的单调递增区间为；

（Ⅱ）因为，所以.

又因为，的最大值为，

所以，解得，所以的最小值为.

【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.

18.如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点. 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（Ⅱ）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；

（Ⅲ）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（Ⅰ）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以. 

又因为平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以. 

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

又因为平面，所以；

（Ⅲ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，

因为平面，所以.

如图，以原点建立空间直角坐标系. 

则，，，，.

，，.

设平面的法向量为，则，即.

令则，，所以.

直线与平面所成角大小为，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19.某市《城市总体规划（年）》提出到年实现“分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为）、良好小区（指数为）、中等小区（指数为）以及待改进小区（指数为）个等级.下面是三个小区个方面指标的调查数据：

注：每个小区“分钟社区生活圈”指数，其中、、、为该小区四个方面的权重，、、、为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为之间的一个数值）.

现有个小区的“分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

（Ⅱ）对这个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取个小区进行调查，若在抽取的个小区中再随机地选取个小区做深入调查，记这个小区中为优质小区的个数为，求的分布列及数学期望.

【答案】（Ⅰ）、小区不是优质小区；小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；

（Ⅱ）先求出个小区中优质小区的个数，可得出随机变量的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量的数学期望值.

【详解】（Ⅰ）小区的指数，

，所以小区不是优质小区；

小区的指数，

，所以小区是优质小区；

小区的指数，

，所以小区不是优质小区；

（Ⅱ）依题意，抽取个小区中，共有优质小区个，其它小区个. 

依题意的所有可能取值为、、.

，，. 

则的分布列为：

【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

20.已知椭圆的右顶点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，可得出点坐标为，求出点、的坐标，求出与面积之和的表达式，结合等式，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值.

【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得.

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，

满足（且），

直线的方程为，令，得，即. 

直线的方程为，同理可得.

设为与轴的交点.

.

又因为，，所以.

当且仅当取等号，所以的最小值为.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题.

21.已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出函数的导数，求出和的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；

（Ⅱ）设函数的两个极值点分别为、，且，由韦达定理可得知，然后利用函数在区间上的单调性可证明出结论成立.

【详解】（Ⅰ）由已知得，因为，，

所以直线的方程为；

（Ⅱ），令，.

（i）当时，即当时，，，

所以，函数在上是单调递增函数，此时，函数在上无极小值；

（ii）当时，即当时，记、是方程的两个根，不妨设，则，所以.

此时，随的变化如下：

又因为函数在单调递增，所以.

所以，函数的极小值小于.

【点睛】本题考查利用导数求函数切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

22.给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.

（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值为；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）最小值为.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据题中的定义可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、两种情况讨论，结合题中定义可证明出；

（Ⅲ）设，利用（Ⅱ）中的结论，结合数列的特征值为，可得出，并证明出，即可求出的最小值.

【详解】（Ⅰ）由题知：，，，

的特征值为；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列两种情况讨论：

当、时，

根据定义可知：，

同理可得：.

所以，所以.  

当、时，同理可得： 

，

所以，所以.              

综上有：；

（Ⅲ）不妨设，

，

显然，，

 .

当且仅当时取等号；.

当且仅当时取等号；

由（Ⅱ）可知、的较小值为，

所以.

当且仅当时取等号，

此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有

. 

下证：若，，总有.

证明：

所以.

因此

.

当时，可取到最小值，符合题意.

所以的最小值为.

【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.