浙江省2015届高三第一次五校联考数学(理)

数学（理科）试题卷

命题学校：宁波效实中学

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh                           其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=Sh                        其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式         其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式S=4πR2                                      其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=πR3                                       其中R表示球的半径                 

第Ⅰ卷（选择题   共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集为，集合，则（     ）

（A）   （B）   （C）  （D）

2．在等差数列中，，则此数列的前6项和为（     ）

（A）               （B）               （C）            （D）  

3．已知函数是偶函数，且，则（     ）

（A）                 （B）                 （C）              （D）

4．已知直线，平面满足，则“”是“”的（     ） 

（A）充要条件                     （B）充分不必要条件 

（C）必要不充分条件               （D）既不充分也不必要条件

5．函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（     ）

（A）向左平移个单位长度            （B）向右平移个单位长度        

（C）向左平移个单位长度            （D）向右平移个单位长度

6．右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，

则它的正视图为（     ）

7．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④．中恒成立的为（     ）

（A）①③      （B）③④      （C）①②      （D）②③④

8．已知数列满足：， ．若

，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（     ）

 （A）           （B）           （C）          （D） 

9．定义，设实数满足约束条件，则

的取值范围是（     ）

（A）             （B）             （C）            （D） 

10．已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（     ）

（A）个           （B）个            （C）个             （D）个

非选择题部分（共100分）

二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．函数的定义域为_____▲____．

12．已知三棱锥中，，，则直线与底面所成角为_____▲____．

13．已知，，则_____▲____．

14．定义在上的奇函数满足，且，则

_____▲____．

15．设是按先后顺序排列的一列向量，若，

且，则其中模最小的一个向量的序号___▲____．

16．设向量，，其中为实数．

若，则的取值范围为_____▲____．

17．若实数满足，则的最大值为____▲____．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）在中，角的对边分别为，已知,

的面积为．

（Ⅰ）当成等差数列时，求；

（Ⅱ）求边上的中线的最小值．

19．（本题满分14分）四棱锥如图放置，,，

，为等边三角形．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

20．本题满分15分）已知函数，其中．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的取值范围．

21．（本题满分15分）已知数列的前项和满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记数列的前和为，证明：．

22．（本题满分14分）给定函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“好数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类好数对”．已知函数的定义域为．

（Ⅰ）若是函数的一个“好数对”，且，求；

（Ⅱ）若是函数的一个“好数对”，且当时，，求证：

函数在区间上无零点；

（Ⅲ）若是函数的一个“类好数对”，，且函数单调递增，比较与的大小，并说明理由．

2014学年浙江省第一次五校联考

数学（理科）答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

（1）C     （2）D     （3）D      （4）C     （5）C

（6）B     （7）A     （8）C      （9）B     （10）A 

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

（11）    （12）     （13）

（14）    （15）或     (16)      (17) 

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(18) 解：（Ⅰ）由条件，

而．  

即，解得…………7分

（Ⅱ）∵，∴

当时取等号…………14分

(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形中，，而，则

同理，故；…………6分

（Ⅱ）取中点,连，

作,垂足为,再作,连。

易得，则

于是， 

即二面角的平面角。

在中，∴，

故二面角的平面角的余弦值为…………14分

解法2：（Ⅰ）易知在梯形中，，

而，则

同理，故；…………6分

（Ⅱ）如图建系，则

,

设平面的法向量为，则

即，取，

又设平面的法向量为，则， 

即，取，

故

故二面角的平面角的余弦值为…………14分

(20)解：（Ⅰ）

当时，在和上均递增，∵，则在上递增

当时，在和上递增，在在上递减 …………6分

（Ⅱ）由题意只需

首先，由（Ⅰ）可知，在上恒递增

则，解得或

其次，当时，在上递增，故，解得

当时，在上递增，故，解得

综上：或…………15分

(21)解：（Ⅰ）由，及，作差得，

即数列成等比，，故…………7分

（Ⅱ）∵

∴   ………9分

则  

即………12分

∴

故…………15分

(22)解：（Ⅰ）由题意，，且，则

则数列成等差数列，公差为，首项，于是…………4分

（Ⅱ）当时，，则由题意得

由得，，解得或均不符合条件

即当时，函数在区间上无零点；

注意到

故函数在区间上无零点； …………9分

（Ⅲ）由题意，则，即

于是

即

而对任意，必存在，使得，由单调递增，得

，则

故…………14分