上海高考文科数学

数学试卷(文史类)

考生注意：

    1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

    2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式的解集是                   ．

2．若集合、满足，则实数              ．    

3．若复数满足（是虚数单位），则                 ． 

4．若函数的反函数，则                  ． 

5．若向量、满足，，且与的夹角为，则            ．

6．若直线经过抛物线的焦点，则实数              ．

7．若是实系数方程的一个虚根，且，则          ．

8．在平面直角坐标系中，从五个点：、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是                   （结果用分数表示）．

9．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析                         ．

10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则、的取值分别是               ．

11．在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取得最大值时，点的坐标是      ． 

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

12．设椭圆上的点．若、是椭圆的两个焦点，则等于（　　）

    A ．4            B．5           C．8     　     D．10

13．给定空间中的直线及平面．条件“直线与平面内两条相交直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（　　）

    A．充分非必要条件            B．必要非充分条件

    C．充要条件                  D．既非充分又非必要条件

14．若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是（　　）

    A．1            B．2            C．            D． 

15．如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（　　）

    A．            B．            C．            D． 

三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

16．（本题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体中，是的中点．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

17．（本题满分13分）

    如图，某住宅小区的平面图呈扇形．小区的两个出入口设置在点及点处．小区里有两条笔直的小路、，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．

18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．

已知函数，，直线（）与函数、的图象分别交于、两点．

   （1）当时，求的值；

   （2）求在时的最大值．

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

    已知函数．

    （1）若，求的值；

    （2）若对于恒成立，求实数的取值范围．

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知双曲线：．

（1）求双曲线的渐近线方程；

    （2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．记．求的取值范围；

    （3）已知点、、的坐标分别为、、，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记

．

（1）若，求的值； 

（2）求证：当是正整数时，；

（3）已知，且存在正整数，使得在，，…，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）

数学试卷(文史类)答案要点

一、填空题（第1题至第11题）

1．            2． 2        3．            4．（）

5．　　        6．－1                    7． 4            8． 

9．            10．，            11．

二、选择题（第12题至第15题）

16．解：过作，交于，连接．

∵平面

∴是直线与平面所成的角．　…… 4分

由题意，得． 

∵，∴．　　…… 8分

∵，∴．　　……10分

故直线与平面所成角的大小是．　　…… 12分

17．解法一：设该扇形的半径为米．由题意，得

（米），（米），．　　　　　　…… 4分

在中，，　　　　…… 6分

即，　　　　　…… 9分

解得（米）．

答：该扇形的半径的长约为445米．　　　　　　…… 13分

解法二：连接，作，交于．　　　　　　…… 2分

由题意，得（米），（米），．　　　　　　…… 4分

在中， 

∴（米），　　　　　　　　　　　 …… 6分

．　　　　…… 9分

在直角中，（米），，

∴（米）．

答：该扇形的半径的长约为445米．　　　　　　…… 13分

18．解：（1）．　　　　　　　　　　…… 2分

　　　　　　　 　．　　　　　　　　　　　　　　　　……5分

（2）．　　　　　　　……8分

　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　……11分

∵，，　　　　　　　　　　　　　　……13分

∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……15分

19．解： （1）当时，；当时，．　　　　……2分

由条件可知，即，解得．　　　　　……6分

∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

（2）当时，，　　　　　　　　　　　……10分

即，

∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……13分

∵，∴，

故的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……16分

 20．解：（1）所求渐近线方程为，．　　　　　　　……3分

（2）设的坐标为，则的坐标为．　　　　　　　　　……4分

．　　　　　……7分

∵，

∴的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……9分

（3）若为双曲线上第一象限内的点，则直线的斜率．　　……11分

由计算可得，当时，；

当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　……15分

∴表示为直线的斜率的函数是．　　……16分

21．解：（1）

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

（2）用数学归纳法证明：当时，．

①当时，，等式成立．　　　　　　……6分

②假设时等式成立，即，那么当时，

　　　　　　……8分

，等式也成立．

根据①和②可以断定：当当时，．　　　　　　　　　……10分

（3）（）．

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

∵是奇数，，，均为负数，

∴这些项均不可能取得100．　　　　　　　　　　　　　　　　……15分

∴，解得，，

此时为100．　　　　　　　　　　　　　　　　……18分