黑龙江哈三中2024届高三第四次联考数学试题文试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．

A ．12

B ．5

C ．52

D ．5

2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为

A ．32f

B ．322f

C ．1252f

D ．1272f 3．函数的定义域为（ ）

A ．[，3）∪（3，+∞）

B ．（-∞，3）∪（3，+∞）

C ．[，+∞）

D ．（3，+∞）

4．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.

若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）

A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．3⎛ ⎝⎭

C ．5⎛ ⎝⎭

D ．60,6⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 5．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )

A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦

D ．9,2ln 2⎛⎫+∞

⎪⎝⎭ 6．已知复数z 满足i z

11=-，则z =（ ）

B ．

1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 7．若实数x ，y 满足条件25024001

x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( ) A ．52 B ．1 C ．2 D ．0

8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）

A ．2

-3 B ．3-2 C ．52 D ．25

9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()322

22x y x y +=.给出下列四个结论：

①曲线C 有四条对称轴；

②曲线C 上的点到原点的最大距离为14

； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为

18； ④四叶草面积小于4

π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①③④

D ．①②④ 10．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若

3FA FB =，则||BF =（ ）

A ．72

B ．3

C ．52

D ．2

11．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则A B 等于（ ）

A ．{}012,,

B ．{2,1,0,1,2}--

C ．{}2,1,0,1,2,3--

D ．{}12

, 12．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy

+的最小值为（ ） A ．322-B ．221 C 21 D 21

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______．

14．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为63-

，当三棱锥P ABC -的体积最大值为

13时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 15．41(2)x x

+-的展开式中2x 的系数为____. 16．曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R π

θρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直

角坐标系，曲线C 的参数方程为3cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩

（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标. 18．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥

平面ABC ，11A E AC ⊥.

（1）求证：//DE 平面11AB C ；

（2）求证：1A E ⊥平面BDE .

19．（12分）已知椭圆22:12

x C y +=的左、右焦点分别为12,,F F 直线l 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线24y x =交于不同的两点,P Q ，且125,

F P F Q ⋅=-过2F 的直线m 与椭圆C 交于,A B 两点，设22,F A F B λ=且[]2,1λ∈-- . （1）求点T 的坐标；

（2）求TA TB +的取值范围.

20．（12分）新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)

频数

5 15 10 10 5 5 了解 4 12

6 5 2 1

（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

（2）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计

中青年

中老年

总计 附：2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()2P K k ≥ 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .

21．（12分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且22233b a c =-.

（1）证明：3cos b c A =⋅；

（2）若ABC 的面积2S =，6b =，求角C .

22．（10分）设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22

e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，1

20FM F N ⋅=． （Ⅰ）若1225F M F N ==，求,a b 的值；

（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +与12F F 共线．

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C

【解析】

试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1 所以|a ＋bi|＝221

5()(1)22

-+-=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模

2．D

【解析】

分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，

所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈，

又1a f =，则127771281(2)2a a q f f ===

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1

n n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.

3．A

【解析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】

因为函数

， 解得

且； 函数

的定义域为, 故选A ． 【点睛】

定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数

的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

4．B

【解析】

由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()

g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围.

【详解】

()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，

(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，

又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，

()f x ∴为周期为2的偶函数，

当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，

当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--，

当2

[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+，

作出(),()f x g x 图像，如下图所示：

函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，

则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， ()0f x ≤，若1a >，

()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，

所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，

则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，

22113,,01,033

a a a a ∴><<<∴<<故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 5．C

【解析】

由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据

32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.

【详解】

设函数()ln(1)f x a x =+，32()2g x x x =-，

因为2

()34g x x x '=-，

所以()0g x '=， 0x ∴=或43

x =

， 因为403x << 时，()0g x '<， 43

x >或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：

当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；

当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩

， 32

32ln 4323ln 5424

a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩， 所以9322ln 2ln 5

a <. 故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 6．B 【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

由i z

11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122

z i =

-. 故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

7．C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.

若实数x ，y 满足条件2502400

1

x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-

如图：

当3,12

x y ==时函数取最大值为2 故答案选C

【点睛】

求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:

当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；

当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.

8．C

【解析】

根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.

【详解】 由题意，3,15

a n =

=， 第1次循环，2,23

a n =-=，满足判断条件； 第2次循环，5,32

a n ==，满足判断条件； 第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；

可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，

所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52

a =.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

9．C

【解析】

①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于

4

π. 【详解】

①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称； 当y 变为y -时，()322

22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称； 当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；

当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为()32222x y

x y +=，所以()222322222x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，

所以2214

x y +≤12≤，取等号时2218x y ==， 所以最大距离为12

，故错误； ③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ，

因为()32222x y x y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18

xy ≤，

取等号时4x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确； ④：由②可知2214

x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部， 因为圆的面积为：144S ππ=⋅

=，所以四叶草的面积小于4

π，故正确. 故选：C.

本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.

10．D

【解析】 根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】 过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=

，所以26AF FD ==，所以123

BF AF ==. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

11．A

【解析】

进行交集的运算即可．

【详解】

{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-，

{0A B ∴=，1，2}．

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

12．B

【解析】

23x y

xy +2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+ ,选B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．-6

【解析】

由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB •BC .

【详解】

∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1），

则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6

故答案为-6

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．

14．8π

【解析】

根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P AC B --的平面角,再设出,AB BC 的长,

即可求出三棱锥P ABC -的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P ABC -的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.

【详解】

如图所示：

过点P 作PE ⊥面ABC ,垂足为E ,过点E 作DE AC ⊥交AC 于点D ,连接PD .

则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角的补角,即有6cos 3

PDE ∠=. ∵易证AC ⊥面PDE ,∴AC PD ⊥,而三角形PAC 为等边三角形, ∴D 为AC 的中点.

设,AB a BC b ==, 22AC a b c =+=. ∴33sin 232

c PE PD PDE c =⋅∠=⨯⨯=. 故三棱锥P ABC -的体积为

223

111322*********

c c c a b c V ab abc ab +=⨯⨯==⨯≤⨯= 当且仅当2a b ==时,3max 1243c V ==,即2,2a b c ===. ∴,,B D E 三点共线.

设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ,半径为R .

过点O 作OF PE ⊥于F ,∴四边形ODEF 为矩形. 则21OD EF R ==-6cos 323

DE OF PD PDE ==∠==1PE =, 在Rt PFO 中,(2

22211R R =+-,解得22R =.

三棱锥P ABC -的外接球的表面积为248S R ππ==.

故答案为：8π．

【点睛】

本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考

查学生的直观想象能力,数算能力和逻辑推理能力,属于较难题.

15．28

【解析】 将已知式转化为8441(1)(2)x x x x

-+-=，则41(2)x x +-的展开式中2x 的系数8(1)x -中6x 的系数，根据二项式展开式可求得其值.

【详解】

2484441(21)(1)(2)=x x x x x x x -+-+-=，所以41(2)x x +-的展开式中2x 的系数就是8(1)x -中6x 的系数，而8(1)x -中6x 的系数为()2

2288128C C ⋅-==， ∴展开式中2x 的系数为2828C =

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.

16．10x y -+=

【解析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.

【详解】

因为2(1)x y x e =+，所以()221x

y x x e =++'，从而切线的斜率1k =，

所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=.

故答案为：10x y -+=

【点睛】

本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(0,0)

【解析】

将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合x 的取值范

围进行取舍即可.

【详解】

因为直线l 的极坐标方程为()3R π

θρ=∈，

所以直线l

的普通方程为y =，

又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩

（α为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22

y x x =∈-，

联立方程212y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩

,解得00x y =⎧⎨=⎩

或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因为22x -≤≤

，所以6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩

舍去， 故P 点的直角坐标为(0,0).

【点睛】

本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

18．（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；

（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证．

【详解】

（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点

∴1//DE AC

∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C

∴//DE 平面11AB C .

（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点

∴BD AC ⊥

∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C

平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC

∴BD ⊥平面11AAC C

∵1A E ⊂平面11AAC C

∴1BD A E ⊥

∵11A E AC ⊥且1//DE AC

∴1A E DE ⊥

∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂=

∴1A E ⊥平面BDE .

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．

19．（1）()2,0T ；（2）⎡⎢⎣⎦

. 【解析】

（1）设出,P Q 的坐标，代入125F P F Q ⋅=-，结合

,P Q 在抛物线2

4y x =上，求得,P Q 两点的横坐标，进而求得T 点的坐标.

（2）设出直线m 的方程，联立直线m 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合11F A F B

λ=，求得2TA TB +的表达式，结合二次函数的性质求得TA TB +的取值范围.

【详解】 （1）可知()()121

,0,1,0F F -， 设()()0000,,,P x y Q x y -

则()()0022

10020051,1,1F P F Q x y x y x y ⋅=-=+--=--⋅， 又2

4y x =，

所以200514x x -=-- 解得02,x =

所以()2,0T .

（2）据题意，直线m 的斜率必不为0,

所以设:1,m x ty =+将直线m 方程代入椭圆C 的方程中， 整理得()222210t y ty ++-=，

设()()1122,,,,A x y B x y 则12222

t y y t +=-+① 12212

y y t =-+② 因为11,

F A F B λ= 所以12,y y λ=且0,x < 将①式平方除以②式得2

12221422

y y t y y t ++=-+ 所以2

21

422t t λλ++=-+ []2,1,λ∈--又解得2207t ≤≤

又()12124,TA TB x x y y +=+-+，()()21212241422t x x t y y t ++-=+-=-+ 所以()()()222121222228841622TA TB x x y y t t +=+-++=-+++ 令212

n t =+， 则71,162n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

所以222717169828168

4,4232TA TB n n n ⎛⎫⎡⎤+=-+=--∈ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦ 2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

20．（1）25

P =；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，6()5

E X =. 【解析】

（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；

（2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；

（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】

（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率22113015

P ==， 中老年对新高考了解的概率82205P =

=. （2）22⨯列联表如图所示

2

2

50(221288) 5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.

（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，

则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，

则0323351(0)10

C C P X C ===；12233563(1)105C C P X C ====； 5122333(2)10

C C P X C ===. 所以X 的分布列为

36()012105105

E X =⨯

+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查概率、性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.

21．（1）见解析；（2）45︒

【解析】

（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得3cos b c A =⋅

（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到tan 2tan A C =，利用三角形的面积公式列方程，由此求得tan A ，进而求得tan C 的值，从而求得角C .

【详解】

（1）由已知得22213c a b -=-，

由余弦定理得2222221

22cos 33

bc A b c a b b b =+-=-=，∴3cos b c A =⋅. （2）由（1）及正弦定理得sin 3sin cos B C A =，即()sin 3sin cos A C C A +=，

∴sin cos cos sin 3sin cos A C A C C A +=，∴sin cos 2sin cos A C C A =，

∴tan 2tan A C =.

21112sin sin tan 223cos 6

b S b

c A b A b A A ===⋅⋅=， ∴tan 2A =，tan 1C =，45C =︒. 【点睛】

本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

22．（Ⅰ）2,a b ==

（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

由222a b c -=与a e c ==，得222a b =，

120022F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，l 的方程为x =．

设))

12M y N y ，， 则112232222F M a y F N y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，， 由120FM F N ⋅=得 212302y y a =-＜． ① （Ⅰ）由1225F M F N ==

=， ②

= ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，

故2,

a b ==

= （Ⅱ）()2222212121212121222246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，

当且仅当12y y =-=

或21y y =-=时，MN ， 此时，()()

1212121232222,22,0222F M F N a y a y a y y a F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 故1

2FM F N +与12F F 共线．