高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)

考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D. 

2.  如图所示的图中，已知，是非空集合，定义表示阴影部分的集合若，，则(    )

A.  B.  C.  D. 

3.  中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做“函数”，沿用至今为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式已知函数由如表给出，则的值为(    ) 

4.  命题“，”的否定为(    )

A. ，    B. ，

C. ，    D. ，

5.  设，，则与的大小关系是(    )

A.     B.     C.     D. 无法确定

6.  的定义域为，则的定义域为(    )

A.     B.     C.     D. 

7.  已知，则“成立”是“成立”的条件．(    )

A. 充分不必要    B. 必要不充分    C. 充分必要    D. 既不充分也不必要

8.  已知集合，则(    )

A.     B. 或

C.     D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为(    )

A.     B.     C.     D. 

10.  若，，，则下列命题正确的是(    )

A. 若且，则    B. 若，则

C. 若且，则    D. 

11.  下列结论正确的是(    )

A. 当时，

B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为

C. 当时，的最小值是

D. 对于，恒成立，则实数的取值范围是

12.  若，，则(    )

A. 或    B. 有最小值    C. 或    D. 有最大值

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  不等式的解集为          ．

14.  命题，若命题的否定是真命题，则实数的取值范围是          ．

15.  若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为          ．

16.  已知函数，则的解集为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知集合，．

若，求；

在，中任选一个，补充到横线上，并求解问题．

若______，求实数的取值范围．

18.  本小题分

已知 

写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围

若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．

19.  本小题分

已知函数．

求，的值；

由中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；

求的值．

20.  本小题分

某商场为回馈客户，开展了为期天的促销活动，经统计，在这天中，第天进入该商场的人次单位：百人近似满足，而人均消费单位：元是关于时间的一次函数，且第天的人均消费为元，第天的人均消费为元．

求该商场的日收入单位：元与时间的函数关系式；

求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．

21.  本小题分

已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：的解集为；；的最小值为．

请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；

求关于的不等式的解集．

22.  本小题分

设，，，，．

证明：；

用表示，，中的最大值，证明：．

参与解析

1.【答案】 

【解析】 本题考查集合的交集运算，属于基础题．

利用交集的定义即可求解．

【解答】

解：因为，，

所以．

故选B．

2.【答案】 

【解析】 本题主要考查集合间的基本运算和新定义法，根据图确定集合之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．

根据图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可．

【解答】

解：由图可得，

因为，，

所以，

所以．

故选：．

3.【答案】 

【解析】 根据题意，函数的解析式为，先求出的值，则有，即可得答案．

本题考查函数值的计算，涉及函数的表示法，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，，

则，，

故选：．

4.【答案】 

【解析】 本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．

【解答】

解：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“，”的否定为“，”，故选D．

5.【答案】 

【解析】 本题考查作差法比较代数式的大小，是较易题．

利用作差法解出的结果，然后与进行比较，即可得到答案．

【解答】

解：因为，，

所以，

，

故选A．

6.【答案】 

【解析】 本题考查复合函数的定义域，属于基础题．

先由，求出的范围，可求出的定义域，而对于相同的对应关系，的范围和相同，从而可求出的定义域．

【解答】

解：因为，所以，所以，

所以的定义域为

所以由，得，

所以的定义域为

故选：

7.【答案】 

【解析】 本题考查充分，必要条件的判定．

先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．

【解答】

解：充分性：若，则，，

必要性：若，又，，

由绝对值的性质：若，则，，

所以“成立”是“成立”的充要条件，

故选：．

8.【答案】 

【解析】 本题考查集合的运算，考查运算求解能力．

【解答】

解：解不等式，得，所以，则或．

9.【答案】 

【解析】 本题考查集合的交集运算、元素与集合的关系，属于基础题．

将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项．

【解答】

解：因为，则，选项A错误；

，则 

，则 

，则，则，选项B正确；

，则，选项C错误；

，则 

，则 

，则，则，选项D正确．

故选BD．

10.【答案】 

【解析】 本题考查了不等式的基本性质、作差法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．

【解答】

解：对于，当时，结论不成立，故A错误；

对于，结论等价于，成立，故B正确；

对于，结论等价于，即，成立，故C正确；

对于，结论等价于，成立，故D正确．

故选BCD．

11.【答案】 

【解析】解：中，因为，则，当且仅当，即时取等号，所以，

所以A正确；

中，不等式的解集为，则可得，是方程的根，

可得，解得，，

所以不等式整理可得：，解得或，

所以不等式的解集为：或，所以B正确；

中，，

因为，所以，所以，

当且仅当，即，即时取等号，

所以，即的最大值是，所以不正确；

中，对于，恒成立，即恒成立，

当时，不等式为显然不是恒成立，所以；

当时，则，解得，

综上所述实数的取值范围是，所以D正确；

故选：．

12.【答案】 

【解析】 本题考查了绝对值不等式及分式不等式的解法，属于基础题．

根据题意解不等式即可得到答案．

【解答】

解：由，得或；

由，得，所以有最小值，无最大值，

故选BC．

13.【答案】 

【解析】 本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

直接解一元二次不等式即可得到答案．

【解答】

解：不等式可化为，

解得，

所以原不等式的解集为．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】 本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．

由存在量词命题的否定，转化为最值问题求解．

【解答】

解：由题意得命题的否定为，，

则，，

可得，则实数的取值范围是．

故答案为．

15.【答案】 

【解析】 本题考查解含参的一元二次不等式，属于基础题．

一元二次方程有两个根，，若使解集中恰有个正整数，只能在时，此时解集中应有，，，四个正整数，从而求得参数满足的条件．

【解答】

解：由知，

若使解集中恰有个正整数，则只能在时，且满足，

此时解集中恰有，，，四个正整数，

故．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】 本题考查分段函数与不等式求解，属于中档题．

易得为奇函数，简化式子为，分类讨论的取值范围即可．

【解答】

解：因为

所以，即为奇函数，

由此可得，即，

当时，成立；

当时，，即

综上的解集为．

故答案为

17.【答案】解：当时，集合，

又，

所以；

选择条件，

由，得，

当时，，得，此时，符合题意；

当时，得，解得

综上，实数的取值范围是

选择条件．

由，得．

当时，，得，此时，符合题意

当时，得，解得

综上，实数的取值范围是． 

【解析】本题考查含参数的集合运算问题，属于中档题．

当时，集合，则可求出；

任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数的取值范围．

18.【答案】解：由题意，的否定为，，

若的否定为真命题，则对任意恒成立，

所以只需，

解得；

由可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，．

若为真命题，则对于任意的，恒成立，

因此只需，解得．

因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况：

若为真命题，为假命题，则有或解得

若为假命题，为真命题，则有解得．

综上可知，实数的取值范围是或

【解析】本题考查命题的真假的判断与应用，否定命题的真假的应用，同时考查命题的否定，属于基础题．

利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出命题的否定，利用命题的否定为真时，得到对任意恒成立，然后求解即可；

命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围．

19.【答案】解：；

由可发现，证明如下：

当时，

由知，

所以

． 

【解析】本题考查函数值的求解，考查计算能力，属于中档题．

由解析式代入运算即可得解；

代入计算，即可得解；

结合的结论运算即可得解．

20.【答案】解：设，

依题意，解得，

所以．

所以．

由得，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

所以第天日收入最少，且最小值为元

【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．

根据人数和人均消费求得日收入的函数关系式．

利用基本不等式求得最小值以及对应的．

21.【答案】解：假设条件符合题意．

，二次函数图象开口向下，

的解集不可能为，不满足题意．

假设条件符合题意．

由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．

满足题意的条件为．

不等式的解集为，

，是方程的两根，

，，即，．

函数在处取得最小值，

，即，

，．

由知，则，即，

即．

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或

【解析】本题主要考查二次函数解析式的求法，含有字母系数的一元二次不等式的解法．

分别假设条件和条件和条件符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出、、的值；

化简不等式，根据的范围讨论不等式解集即可．

22.【答案】证明：，，

，

，

，，，均不为，

，

；

不妨设，则，

，，

而，

当且仅当时，等号成立，

与假设矛盾，

故． 

【解析】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反证法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．

将平方之后，化简得到，即可得证；

利用反证法，假设，结合条件推出矛盾．