矩阵分析模拟试题及答案

一.填空题(每空3分,共15分)

1. 设为3阶方阵, 数, , 则= -24．

2. 设向量组，，，，则=2． 

3. 已知，是3阶非零矩阵，且，则1/3．

4．设矩阵与相似，则=-1．

5. 若二次型是正定二次型，则的取值范围是．

二.单项选择题(每小题3分,共15分)

1. 设是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，，在则（ D ）

2. 设是4阶矩阵，且的行列式，则中（ C）

     必有一列元素全为0

     必有两列元素成比例

     必有一列向量是其余列向量的线性组合

  任意列向量是其余列向量的线性组合

 3． 设与均为3阶方阵, 且与相似, 的特征值为1, 2, 3, 则的特征值为（B  ）

 2, 1,    , ,    1, 2, 3    2, 1, 

4. 设均为阶方阵，则必有（ C ）

5. 设维向量线性无关，则维向量线性无关的充要条件为（D  ）

 向量组可由向量组线性表

 向量组可由向量组线性表示

 向量组与向量组等价

 矩阵（）与矩阵（）等价

三. (每小题6分，共12分)                                        

 (1)计算行列式的值 

(2)计算矩阵乘积

解：（1）

 （2）

四.(12分)已知，，若满足，求.

解：

五. (本题14分)当取何值时，线性方程组

无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

解：

方程组无解；

方程组有唯一解；

方程组有无穷多解；

通解为：

六.(本题12分)设有向量组，试求此向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。 

所以

七.(12分) 已知二次型

求一个正交变换，把化为标准形, 并写出该标准型。 

 解：

将

单位化得令

则

八.（8分）设阶实对称矩阵满足，证明：

的所有特征值都不等于零。

证明： 假设是的一个特征值，则

又

矛盾，所以的所有特征值都不等于零