高考数学中数列问题归类解析

数列是高中数学的主要内容之一，它在每年的高考数学试题中占有相当大的比例。一般安排2～3道题目（1～2道选择或填空小题，1道解答型大题），分值20分左右，约占总分的13%。选择或填空题的难度控制在中等，学生答题时一般较容易；而在试题的后半部分安排的1道解答型大题，多为中等偏上乃至较难的题目，它们是高考数学中的热点与难点。为了复习时突破这一难点，结合新课标教材及近几年高考试题的命题趋向，针对数列在高考数学中的几个热点问题作如下归类与解析。1.求通项公式问题1.1 已知数列的前n项和表达式，求数列的通项公式。（例2009年安徽卷）已知数列{a n}的前n项和s n=2n 2+2n，求这个数列的通项公式。方法解析：由s n=2n 2+2n得，当n≥2时，有s  n-1 =2(n-1) 2+2(n-1)∴a n=s n-s  n-1 =(2n 2+2n)-［2(n-1) 2+2(n-1)］=4n,n∈n *。说明：解答这类问题的关键，是充分利用前n项和表达式这一条件，再根据a n=s n-s  n-1 这一相等关系即可解决。1.2 给出已知数列的递推公式，求数列的通项公式。如果一个数列的任一项a n与它的前一项a  n-1 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就称这个数列的递推公式。利用数列的递推公式求数列的通项，是历年高考数学的一个热点。解决这类问题的主要方法有累加法、累乘法、分离常数化归为等差数列和分项整理化归为等比数列等。例1:已知数列{a n}满足a 1=2，a  a+1 =a n+2 n，求这个数列的通项公式。方法解析：由a  n+1 =a n+2 n得，a  n+1 -a n=2 n，据此可写出如下等式：a 2-a 1=2，a 3-a 2=2 2，a 4-a 3=2 3……a n-a  n-1 =2  n-1 将上述等式两边分别相加得，a n-a 1=2+2 2+2 3+……2  n-1 =2（1-2  n-1 ）1-2=2 n-2∴a n=a 1+2 n-2=2 n。说明：此题的解法就是利用了累加法，通过累加，使等式中的一些项抵消，巧妙地得出通项公式。例2:已知数列{a n}是首项为1的正项数列，且a  n+1 =nn+1a n，求这个数列的通项公式。方法解析：由a  n+1 =nn+1a n得，a  n+1 a n=nn+1，据此可写出如下等式：a 2a 1=12，a 3a 2，a 4a 3=34……a na  n-1 =n-1n将上述等式两边分别相乘得，a 2a 1a 3a 2a 4a 3……a na  n-1 =122334……n-1n∴a na 1=1n即a n=1n。说明：此题的解法就是利用了累乘法，通过对许多等式的累乘，约去大量的因式，从而简化计算过程，求出通项公式。例3：已知数列{a n}满足a 1=1，a  n+1 =2a n+1，求这个数列的通项公式。方法解析：由a  n+1 =2a n+1得，a  n+1 +1=2(a n+1)∵a 1+1=2≠0∴a  n+1 +1a n+1=2。上式说明数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列∴a n+1=2×2  n-1 即a n=2 n-1。说明：此题的解法就是利用了化归的数学思想方法。通过对递推公式分项整理，将所给问题化归为等比数列问题，从而使问题迎刃而解。同时也总结出一个结论：对于“a  n+1 =xa n+y(x≠0,x≠1,y≠0)”型数列递推式，可以化归为等比数列：a  n+1 +λ=x(a n+λ)，其中λ=yx-1。2.求前n项和问题在高考中，由于所给的数列问题往往千变万化，可能既不是等差也不是等比数列，这就需要我们学会随机巧变，灵活转化，最终将所给的问题转化成等差或等比数列的问题来解决；或应用其他手段，化变量为常量，以多化少，以繁化简，以解决问题为目的。2.1 倒序相加法。例：求1+2+3+……+100的和。方法解析：设s  100 是所求的和，则s  100 =1+2+3+……+100另一方面又有，s  100 =100+99+98+……+1将上述两个等式的两边分别相加得，2s  100 =（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（100+1）=100×100∴s  100 =101×1002=5050说明：采用倒序相加的目的，是将多个变量化成一个常量，从而有效地减少了变量的个数，使复杂问题简单化。2.2 错位相减法。以课本教材为例。求首项为a 1，公比为q(q≠1)的等比数列{a n}的前n项和s n。方法解析：设s n为等比数列的前n项和∴s n=a 1+a 1q+a 1q 2+……+a 1q  n-1     ①将上述等式的两端分别都乘以q得qs n=a 1+a 1q+a 1q 2+……+a 1q  n-1 ②②-①得，qs n-s n=a 1q n-a 1∵q≠1∴s n=a 1(1-q n)1-q。说明：上述解法就是利用的错位相减法，通过错位相减，使等式中一些共同的项消去。运用错位相减法求和的关键特征是等式中存在大量的相同的项。2.3 分组转化法。例：已知在数列{a n}中，a n=n+2 n，求这个数列的前n项和s n。方法解析：s n=a 1+a 2+a 3+……+a n=（1+2）+（2+2 2）+（3+2 3）+……（n+2 n）=(1+2+3+……+n)+(2+2 3+2 3+……+2 n)=n(n+1)2+2(1-2 n)1-2=n 2+n2+2  n+1 -2说明：分组转化法，就是把数列的每一项分成多项，再经过重新组合，使其转化为熟知的等差或等比数列求和。一个数列能否利用分组转化法求和，是由通项的结构特征所解决的。2.4 裂项抵消法。例:已知在数列{a n}中，a n=1n 2+n，求这个数列的前n项和s n。方法解析：由a n=1n 2+n得，a n=1n(n+1)=1n-1n+1∴s n=a 1+a 2+a 3+……+a n=(1-12)+(12-13)+(13-14)+……+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1说明：若一个数列的每一项都可以表示为两项之差，且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间的一些项就可以互相抵消，这种数列求和的方法就称为裂项抵消法。3.证明一个数列是等差或等比数列问题关于等差或等比数列的证明问题，多出现在解答题的第一问，一般难度不太大，只要利用等差或等比数列的定义即可解决。（例2009年陕西卷）已知数列{a n}满足a 1=1，a 2=2，a  n+2 =a n+a  n+1 2，n∈n *，令b n=a  n+1 -a n，证明数列{b n}是等比数列。方法解析：∵a  n+2 =a n+a  n+1 2∴a  n+2 -a  n+1 =-12（a  n+1 -a n）由b n=a  n+1 -a n得，b  n+1 =a  n+2 -a  n+1 ∴b  n+1 =-12(a  n+1 -a n)=-12b n又b 1=a 2-a 1=2-1=1≠0∴b  n+1 b n=-12上式说明数列{b n}是首项为1公比为-12的等比数列。说明：要证明一个数列是等差或等比数列，一般应用定义进行严格论证，即证明a  n+1 -a n或a  n+1 a n为常数；要证一个数列不是等差或等比数列，只要举一反例说明即可。以上列举的是关于数列方面最基本的也是最重要的几种题型及解析。当然在实际教学中，还会遇到各种各样的数列问题，随具体问题的不同其解法也不同，在此不一一列举。但建议在复习此部分知识时，应重视递推关系在数列表示和研究数列性质中的重要作用，重视数列与函数、不等式、方程等内容的联系，注重知识的整合与积累，充分利用转化的数学思想方法，将许多既非等差又非等比的数列问题化归为等差或等比的数列问题来解决。上文是本人在最近几年的高中数学教学与辅导中，总结出来的一点浅见，写出来与大家一起探讨，共同研究高考数学中的热点与难点问题，提高学生复习的效率和解题技能。