向量代数与空间解析几何知识题详解

习  题  6—3

1、已知，，求线段的垂直平分面的方程.

解：设是所求平面上任一点，据题意有

化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.

2、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.

解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则   亦即     从而所求的轨迹方程为.

3、 求下列各球面的方程：

（1）圆心，半径为； （2）圆心在原点，且经过点；

（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与

解：（1）所求的球面方程为：

（2）由已知，半径，所以球面方程为

（3）由已知，球面的球心坐标，

球的半径，所以球面方程为：

（4）设所求的球面方程为：

因该球面经过点，所以 解之得

所求的球面方程为.

4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．

解：(旋转抛物面) .

5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．

解： 绕轴旋转得   绕轴旋转得.

6、指出下列曲面的名称，并作图：

（1）；（2）；（3） ；（4）；

（5）；（6）；（7）；

（8）；（9）；（10）.

解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；

（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.

7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？

（1）    ；（2）；（3）；（4）.

解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；

（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；

（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；

（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.

8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？

（1）；（2）（3）；（4）

解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者 平面上椭圆绕轴旋转而成

（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成

（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者 平面上的双曲线绕轴旋转而成

（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者 平面上的直线绕轴旋转而成.

9、 画出下列各曲面所围立体的图形：

（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；

（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.

解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；

（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；

（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；

（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.

习  题  6—4

1、画出下列曲线在第一卦限内的图形

（1）；（2）；（3）

解：（1）是平面与相交所得的一条直线；

（2）上半球面与平面的交线为圆弧；

（3）圆柱面与的交线.图形略.

2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.

解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；

消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.

3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.

解：；； .

4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.

解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.

5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程

（1）；        （2）

解：（1）原曲线方程即：，化为；    

（2）.

6、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

解：；；.

7、指出下列方程所表示的曲线

（1）      （2）；

（3）； （4）； （5）.

解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.

8、 求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.

解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为

9、 求曲线 在坐标面上的投影.

解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.

（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.

（3）同理在面上的投影也为线段.

10、 求抛物面与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.

解： 交线方程为，（1）消去得投影

（2）消去得投影，（3）消去得投影.

习  题  6—5

1、写出过点且以为法向量的平面方程.

解：平面的点法式方程为.

2、求过三点的平面方程.

解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得

，故所求平面方程为.

3、求过点且与平面平行的平面方程.

解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为

 即 .

4、求通过x轴和点(4 3 1)的平面的方程 

解：平面通过x轴 一方面表明它的法线向量垂直于x轴   即A0 另一方面表明 它必通过原点 即D0 因此可设这平面的方程为ByCz0又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有3BC0    或C3B  将其代入所设方程并除以B (B 0) 便得所求的平面方程为y3z0

5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.

解： 取法向量所求平面方程为化简得: 

6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.

解：  设所求

解  设平面为由平面过点知平由平面过原点知， ，所求平面方程为

7、写出下列平面方程：

（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，，轴上的截距相等的平面.

解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,

、（3） (为常数), （4）   .

习  题  6—6

1、求下列各直线的方程：

（1）通过点和点的直线；

（2） 过点且与直线平行的直线.

（3）通过点且与三轴分别成的直线；

（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.

（5）通过点且与两直线和垂直的直线；

（6）通过点且与平面垂直的直线.

解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.

（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.

（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：

.

（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程

（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.

（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .

2、求直线的点向式方程与参数方程.

解 在直线上任取一点,取 解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为：

 令则所求参数方程: 

3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.

（1）与；（2）与.

解：（1）将所给的直线方程化为标准式为： 

   二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .

（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.

4、判别下列直线与平面的相关位置：

（1）与；（2）与；

（3）与；

（4）与.

解（1），而，所以，直线与平面平行.

（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.

（3）直线的方向向量为：，，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.

（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.

复习题A

一 、判断正误:

1、 若且，则；                                    (  )

解析  ==0时，不能判定或．例如，，，有，但．

2、 若且，则；                                 (  )

解析  此结论不一定成立．例如，，，则

，，，但．

3 、若，则或；                                       (  )

解析  两个相互垂直的非零向量点积也为零．

4、 ．                                                   ( √ )

解析  这是叉积运算规律中的反交换律．

二、选择题:

1 、 当与满足（ D ）时，有；

；    (为常数)；   ∥；   ．

解析  只有当与方向相同时，才有．

(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反．

2、下列平面方程中，方程( C )过轴；

(A)  ；  (B) ；  (C) ；  (D) ．

解析  平面方程若过轴，则，故选C．

3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；

(A) 椭球面；     (B)  椭圆抛物面；     (C)  椭圆柱面；     (D)  单叶双曲面．

解析  对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．

4、空间曲线在面上的投影方程为( C )； 

(A)； (B)； (C) ；(D)

解析  曲线与平面平行，在面上的投影方程为．

5 、直线与平面的位置关系是( B )．

(A) 垂直；     (B)  平行；      (C)  夹角为；   (D)  夹角为．

解析  直线的方向向量={2，1，-1}，平面的法向量={1，-1，1}，=2-1-1=0，所以，⊥，直线与平面平行．

三、填空题:

1、若，，则  ，    0    ；

解  ==，==0．

2、与平面垂直的单位向量为 ；

解  平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为==，所以，与平面垂直的单位向量为．

3、过点和且平行于轴的平面方程为  ；

解  已知平面平行于轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有  得 ，即  ．

4、过原点且垂直于平面的直线为；

解  直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量=={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为   ．

5、曲线在平面上的投影曲线方程为 

解:  投影柱面为 ，故 为空间曲线在平面上的投影曲线方程．

四、解答题:

1、 已知，，计算(a) ； (b)  ； (c)  ；

解: (a)  =.

(b)  ，，

所以．

(c)  ，所以．

2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量．

解: (1) ；(2)；

(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；

(4)．

3、设向量，，求与和都垂直的单位向量.

解： 令，，

故与、都垂直的单位向量为.

4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量

解： 垂直于与，故平行于，存在数使

因，故， .

5、求满足下列条件的平面方程：

 (1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为．

解  (1)解1：  用三点式．所求平面的方程为，即．

解2：  用点法式．，，由题设知，所求平面的法向量为

，

又因为平面过点，所以所求平面方程为，即

．

解3：  用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可．

因为，所以解得，于是所求平面方程为

，即 ．

    （2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为 

，所以），令，则有，由题设得

，

解得或，于是所求平面方程为或．

6、 一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；

解法1：  直线在平面上，令=0，得 ，=4，则（0，-，4）为平面上的点．

设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}，={1，0，-1}，则直线的方向向量==={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即

           ={-5，2，-5}•==0，

因为所求平面与平面垂直，则==0，解方程组

所求平面方程为 ，即．

解法2：  用平面束（略）

7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.

解法1：，，，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.

解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而．根据点向式方程，所求直线方程为

，即.

解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即．同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为．故所求直线的方程为．

8、 一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；

解：  设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为  ，联立

由①，令，则有代入方程②有

可得，代入③解得， 因此，所求直线方程为．

9、 指出下列方程表示的图形名称：

(a) ；(b) ；(c) ；

(d) ；(e) ；  (f) ．

解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕轴旋转的锥面．

(d) 母线平行于轴的两垂直平面：，． (e)  母线平行于轴的双曲柱面．     

(f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处．

10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形．

解：  将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，

所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)．