斐波那契与斐波那契数列

　　1．斐波那契数列

　　莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

　　假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？

　　这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。

　　现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

　　特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。

　　（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；

　　（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）

　　因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：

　　，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得

　　所以。

　　这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

　　它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）

　　（1）斐波那契数列的前项和；

　　（2）；

　　（3）（）；

　　（4）（）；

　　（5）（）；

【该数列有很多奇妙的属性】

　　比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 

　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

　　5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26……（从2开始每个数的两倍）。

　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1

　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1

　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

　　1

　　1 1

　　1 2 1

　　1 3 3 1

　　1 4 6 4 1

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　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……

　　（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

　　（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

　　斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：

　　3………………………百合和蝴蝶花

　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

　　8………………………翠雀花

　　13………………………金盏草

　　21………………………紫宛

　　34，55，……………雏菊

　　（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

　　（4）斐波那契数列与黄金比值

　　相继的斐波那契数的比的数列：

　　它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

【斐波那契数列的应用】

　　一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方 

　　形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！

　　这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪儿去呢？

　　斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

　　另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21…… 

　　斐波那契螺旋

　　具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部

　　具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部

　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.6180339……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到，甚至144条。

　　三角形的三边关系定理和Fibonacci数列的一个联系

　　一个问题：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为__________.

　　分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2(为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和)，依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

　　我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了Fibonacci数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和Fibonacci数列发生了一个联系。

）帕斯卡三角形，二项展开式和概率． 

2）黄金比值突平鹁匦危? 

3）自然和植物． 

4）使人感兴趣的数学戏法． 

5）数学恒等式