...深圳市九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(答案解析...

1．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）

A．2019 ．2020 ．2021 ．2022

2．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝90 ．x（x﹣1）＝90

C．x（x+1）＝90 ．x（x﹣1）＝90

3．用配方法解一元二次方程，下列变形中正确的是（ ）

A． ． ． ．

4．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）

A． ．

C． ．

5．一元二次方程的根的情况为（ ）

A．没有实数根 ．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根

6．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（ ）

A．4.4% ．12% ．20% ．24%

7．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

8．下列说法不正确的是（ ）

A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件

B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查

C．一元二次方程只有一个根

D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定

9．关于的方程有实数根，的取值范围是（ ）

A．且 ． ．且 ．

10．若关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）

A．k≥ ．k≤且k≠0 ．k＜且k≠0 ．k≤

11．已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）

A． ． ．且 ．

12．一元二次方程＝﹣3x的根是（　　）

A．x＝﹣3 ．x＝0 ．＝0，＝﹣3 ．＝0，＝3

二、填空题

13．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）．

14．所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度．

15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．

16．方程的解是___________．

17．方程的根是___________．

18．若x1，x2是方程x2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根，则x1＋x2＋x1x2＝______．

19．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．若，则______________．

20．关于的方程的实数根为______．

三、解答题

21．阅读下面材料，并完成问题．

任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”．

探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？

小亮同学是这样探究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

由①，得，③

把③代入②，得，

整理，得．

，

的“兄弟矩形”B存在．

（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？

（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件．

22．解方程：（1）3x（x+1）＝3x+3．

（2）2x2+3x﹣1＝0．

23．已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；

（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．

24．年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．

（1）求每位发病者平均每天传染多少人？

（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？

25．用适当的方法解下列方程：

（1） （2）

26．已知方程的一个根比另一个根小4，求这两个根和的值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系，得到，然后求出，然后代入计算，即可得到答案．

【详解】

解：∵，是方程的两个实数根，

∴，，

∴

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．

2．D

解析：D

【分析】

设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．

【详解】

解：设有x个队参赛，则

x（x﹣1）＝90．

故选：D．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

3．B

解析：B

【分析】

方程移项后，利用完全平方公式变形即可得到结果．

【详解】

解：方程x2+8x-3=0，

移项得：x2+8x=3，

配方得：x2+8x+16=16+3，即（x+4）2=19．

故选：B．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4．D

解析：D

【分析】

由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；

【详解】

解：A.由可得，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；

B.，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；

C. ，，有两个实数根，故不符合题意；

D. ，没有实数根，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了根的判别式Δ=b2−4ac以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．

5．D

解析：D

【分析】

确定a、b、c计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；

【详解】

∵ ，

∴ △=1-0=1＞0，

∴ 原方程有两个不相等的实数根；

故选：D．

【点睛】

本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．

6．C

解析：C

【分析】

利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.

【详解】

解：设平均增长率为x，根据题意，得

10=14.4，

解得x=0.2或x=-2.2（舍去），

所以x=0.2即平均增长率为20%，

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.

7．D

解析：D

【分析】

根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m<0，然后解不等式即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程无实数根，

∴△=（-2）2-4m<0，

解得m>1．

故选：D．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

8．C

解析：C

【分析】

根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．

【详解】

解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；

B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；

C. 一元二次方程中，，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意；

D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当时，一元二次方程有两个相等的实数根．

9．D

解析：D

【分析】

分两种情况：k=0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，若有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．

【详解】

解：时，是一元一次方程，有实数根；

不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△，

△，

解得，

故选：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义及根与判别式的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

10．B

解析：B

【分析】

根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有实数根，

∴，

∴k≤且k≠0．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

11．A

解析：A

【分析】

由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．

【详解】

解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；

当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，

∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，

解得且k≠0，

综上：k的取值范围是，

故选A．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．

12．C

解析：C

【分析】

移项，利用因式分解求解即可.

【详解】

解：∵＝﹣3x，

移项，得

+3x＝0，

分解因式，得

x（x+3）＝0，

∴x＝0，或x+3＝0，

解得

＝0，＝﹣3，

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.

二、填空题

13．①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式根与系数的关系解的意义求解【详解】解：①因为a+c＝0a≠0所以ac异号所以△＝b2﹣4ac＞0所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时ax2+bx+

解析：①②④

【分析】

根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．

【详解】

解：①因为a+c＝0，a≠0，所以a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；

②∵x=1时，ax2+bx+c＝a+b+c，

∴a+b+c＝0时，一定有一个根是1，故②正确；

③根据b2﹣6ac＞0，不能得到b2﹣4ac＞0，从而不能证得方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；

④∵2和3是ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，

∴，

∴，

而，

∴是方和cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，故④正确，

∴正确的结论是①②④，

故答案为：①②④，

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．

14．2米【分析】设甬路的宽为xm六块草坪的面积为根据面积之间的关系列方程解方程求解并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽【详解】解：设甬路的宽为xm根据题意得整理得解得当x=44时不符合题意故舍去所

解析：2米．

【分析】

设甬路的宽为xm，六块草坪的面积为，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．

【详解】

解：设甬路的宽为xm,根据题意得

整理得 

解得 

当x=44时不符合题意，故舍去，

所以x=2.

答：甬路的宽为2米．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．

15．【分析】根据m与n是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根∴m+n＝1mn＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn

解析：

【分析】

根据m与n是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，

∴m+n＝1，mn＝-3，

∵(m+n)2=m2+n2+2mn

m2+n2=(m+n)2-2mn

∴m2+n2=12-2×(-3)=7

∴m2+n2-19=7-19=-12

故答案为：-12．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．

16．x1＝x2＝3【分析】先移项得到x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0然后利用因式法分解法解方程【详解】解：x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0（x﹣3）（x﹣3）＝0x﹣3＝0所以x1＝x2＝3故答案为：x1＝

解析：x1＝x2＝3．

【分析】

先移项得到x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，然后利用因式法分解法解方程．

【详解】

解：x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣3）＝0，

x﹣3＝0，

所以x1＝x2＝3．

故答案为：x1＝x2＝3．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

17．【分析】把1-x看作是一个整体直接开平方解方程即可【详解】即直接开平方得：移项得：∴故答案为：【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法掌握平方根性质及意义是解题的关键

解析：

【分析】

把1-x看作是一个整体，直接开平方解方程即可．

【详解】

，

即，

直接开平方得：，

移项得：，

∴，，

故答案为：．

【点睛】

本题考察解一元二次方程－直接开平方法，掌握平方根性质及意义是解题的关键．

18．4【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解：用韦达定理算出和的值带入求解即可；【详解】∵方程为∴a=1b=-3c=1∴=3=1∴=3+1=4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系

解析：4

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系求解： ， ，用韦达定理算出 和的值带入求解即可；

【详解】

∵ 方程为 ，

∴ a=1，b=-3，c=1，

∴ =3，=1，

∴  =3+1=4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解韦达定理是解题的关键；

19．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故

解析：或．

【分析】

分类讨论当和当两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．

【详解】

分类讨论①当时，即．

此时，

解得：．

由于，所以两个根都舍去．

②当时，即．

此时，

解得：．

由于，所以两个根都符合题意．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．

20．【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：（x+1）（x+9）=0∴x+1=0x+9=0∴故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方

解析：，

【分析】

利用因式分解法解方程．

【详解】

解：

（x+1）（x+9）=0

∴x+1=0，x+9=0，

∴，．

故答案为: ，．

【点睛】

此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．

三、解答题

21．（1）不存在；（2）

【分析】

（1）按照小亮的方法，进行计算即可；

（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．

【详解】

解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得

由①，得，③

把③代入②，得，

整理，得，

，

的“兄弟矩形”B不存在．

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，

由题意，得

由①，得，③

把③代入②，得，

整理，得，

，

又都是正数，

当时，A的“兄弟矩形”B存在．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．

22．（1）x1＝1，x2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝．

【分析】

（1）用因式分解法解方程即可；

（2）用公式法解方程即可．

【详解】

解：（1）3x（x+1）＝3x+3，

3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，

3（x+1）（x﹣1 ）＝0，

x﹣1＝0，x+1＝0，

x1＝1，x2＝﹣1．

（2）2x2+3x﹣1＝0．

a＝2，b＝3，c＝﹣1，

∵△＝9+8＝17，

∴x＝，

∴x1＝，x2＝．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是采用适当的方法解方程．

23．（1）3；（2）．

【分析】

（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可；

（2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．

【详解】

解：（1）∵1是关于的一元二次方程的一个根，

∴设α是关于的一元二次方程的另一个根，

∴1+α=4，

∴α=3，

∴关于的一元二次方程的另一个根是3；

（2）∵是方程的两个实数根，

∴，

∴，

又∵=3

而且，

∴=，

∴＜3，

∴的值是．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．

24．（1）4人；（2）会

【分析】

（1）设每位发病者平均每天传染人，然后根据一开始有两人，经过两天后变为50人列出方程，即可求解；

（2）利用（1）结果，结合第二天总人数计算即可求解．

【详解】

（1）设每位发病者平均每天传染人，由题意得，

．

解得：，（不合题意，舍去）

答：每位发病者平均每天传染个人；

（2）．

答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过人．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，属于传播类问题，关键是根据等量关系列出方程．

25．（1）；（2）

【分析】

（1）根据公式法计算即可；

（2）根据因式分解法计算即可；

【详解】

解：（1），

，

，

； 

（2），

，

，

即，

．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．

26．，，

【分析】

设两根为x1和x2，根据根与系数的关系得x1+x2，x1·x2，由|x2-x1|=4两边平方，得(x1+x2)2-4x1·x2=16，代入解得m，此时方程为x2+4x=0，解出两根 .

【详解】

解：x2+4x-2m=0

设两根为x1和x2，则△=16+8m>0，

且x1+x2=-4，x1·x2=-2m

由于|x2-x1|=4

两边平方得x12-2x1·x2+x22=16

即(x1+x2)2-4x1·x2=16

所以16+8m=16 

解得：m=0

此时方程为x2+4x=0，

解得 x1=0 ， x2=−4 .

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．