2014年重庆高考数学理科试卷(带详解)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内表示复数的点位于(    )

A.第一象限          B.第二象限        C.第三象限          D.第四象限

【测量目标】复数的基本运算和复数在复平面中的表示.

【考查方式】考查复数的运算和在复平面中的表示.

【难易程度】容易.

【参】A

【试题解析】i(1－2i)＝2＋i，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限，故选A.

2.对任意等比数列,下列说法一定正确的是(    )

A.成等比数列       B.成等比数列

C.成等比数列       D.成等比数列

【测量目标】等比数列的性质.

【考查方式】考查等比数列等比中项性质的运用.

【难易程度】容易.

【参】D

【试题解析】因为在等比数列中…也成等比数列，所以成等比数列，故选D.

3.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为(    )

A.   B.   C.   D. 

【测量目标】线性回归方程的概念.

【考查方式】考查对线性回归方程的理解

【难易程度】容易.

【参】A

【试题解析】因为变量x与y正相关，则在线性回归方程中，x的系数应大于零，排除B，D；将x＝3，y＝3.5分别代入A，B中的方程只有A满足，故选A.

4.已知向量，且，则实数=(   )

A.     B.     C.      D. 

【测量目标】向量的运算及关系.

【考查方式】考查向量的运算及关系.

【难易程度】容易.

【参】C

【试题解析】∵，又，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.故选C.

5.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是(    )

A.     B.     C.      D. 

第5题图

【测量目标】程序框图，判断语句，循环语句. 

【考查方式】考查阅读程序框图，读懂判断语句，循环语句的能力.

【难易程度】容易.

【参】C

【试题解析】第一次循环结束，得，k＝8；第二次循环结束，得，k＝7；第三次循环结束，得，k＝6，此时退出循环，输出k＝6.故判断框内可填.故选C.

6.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是(    )

A.   B.    C.    D. 

【测量目标】命题的真假判断和命题连接词.

【考查方式】考查命题的判断和命题连接词的理解.

【难易程度】容易.

【参】D

【试题解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以为真命题，所以为真命题．故选D.

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(    )

第7题图 

A.54      B.60      C.66      D.72

【测量目标】三视图，几何体的面积计算，空间想象能力.

【考查方式】给出三视图，由三视图求几何体的面积，平面图形向立体图形转化.

【难易程度】容易.

【参】B

【试题解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为.故选B.

8.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为(    )

A.      B.     C.     D.3

【测量目标】由已知条件求双曲线离心率.

【考查方式】根据给出几何条件，向代数关系转化，解出参数间的关系，进而求出离心率.

【难易程度】容易.

【参】B

【试题解析】不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有，联立，平方相减得，则由题设条件，得，整理得，∴.故选B.

9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(    )

A.72           B.120       C.144     D.3

【测量目标】排列组合问题.

【考查方式】考查排列组合问题中插入法的应用.

【难易程度】容易.

【参】B

【试题解析】分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有种．所以由计数原理可得节目的排法共有(种)．故选B.

10.已知的内角满足，面积满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式成立的是(    )

A.      B.     C.    D. 

【测量目标】三角函数，三角函数和差化积公式，正弦定理.

【考查方式】考查三角形内角三角函数的变换，和差化积公式以及正弦定理的运用.

【难易程度】中等.

【参】A

【试题解析】因为，所以，，所以由已知等式可得，即，

所以，

所以，所以，

所以.由，，得.由正弦定理得，所以2，

所以，即，所以.故选A.

二、填空题

11.设全集,则______.

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查集合的概念，交集，并集.

【难易程度】容易.

【参】{7，9}

【试题解析】由题知={4，6，7，9，10}，∴ {7，9}．

12.函数的最小值为________．

【测量目标】对数函数和二次函数的性质.

【考查方式】考查对数函数的换底公式以及二次函数的最大值.

【难易程度】容易.

【参】

【试题解析】，所以当时，函数f(x)取得最小值.

13.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.

【测量目标】圆的方程，点到直线距离.

【考查方式】考查圆的方程，点到直线距离，圆的半径与弦的关系.

【难易程度】中等.

【参】

【试题解析】由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离.∵为等边三角形，∴.又，

∴，即，解得.

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14.过圆外一点作圆的切线(为切点)，再作割线，分别交圆于，，若，AC=8，BC=9，则AB=________.

【测量目标】切割线定理，弦切角定理，相似三角形.

【考查方式】考查对有关圆内图形的有关图形和相似图形的确定以及相似性的应用.

【难易程度】中等.

【参】4

【试题解析】根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得,即36＝PB·(PB＋9)∴PB＝3，∴PC＝12.由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，∴，，即.

第14题图

15.已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与曲线的公共点的极径________.

【测量目标】极坐标方程及有关的概念.

【考查方式】考查极坐标方程和直角坐标系方程的转化，直线和曲线焦点的求解.

【难易程度】容易.

【参】

【试题解析】由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线C的方程，解得，所以直线l与曲线C的公共点的极径.

16.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_______.

【测量目标】绝对值不等式，二次函数.

【考查方式】考查恒成立问题即最值问题，分类讨论思想.

【难易程度】中等.

【参】

【试题解析】令，则①当x<－2时，；

②当时，，故；③当时，

综合①②③可知，所以要使不等式恒成立，

则需，解得.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

17.(本小题13分)已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.

()求和的值；

()若，求的值.

【测量目标】三角函数的性质，三角恒等变换.

【考查方式】通过三角函数具有的一些图像上的性质确定三角函数中的位置参数，考查将已知的三角函数值变换成为需要的形式的能力..

【难易程度】中等.

【试题解析】(I)因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.又因的图象关于直线对称，所以因得,所以.()由()得,所以.由得

所以

因此

=.

18.(本小题满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

(2)表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列(注：若三个数满足       ，则称为这三个数的中位数).

【测量目标】古典概型，排列组合和分布列.

【考查方式】考查排列如何在求古典概型中的应用以及分布列.

【难易程度】中等.

【试题解析】(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为.(Ⅱ)的所有可能值为1，2，3，且,

.故的分布列为:

19.(本小题满分12分)如图，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，   ，为上一点，且.

(1)求的长；

(2)求二面角的正弦值。

第19题图

【测量目标】空间直角坐标系，二面角.

【考查方式】考查空间直角坐标系的建立，确定空间中点的坐标以及求解二面角..

【难易程度】中等.

【试题解析】(Ⅰ)如图，连结，因为菱形，则，且，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，因，故, ,

所以,.

由知，,

从而，即

设，则因为，

故即，所以(舍去)，即.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，,

设平面的法向量为，平面的法向量为

由得故可取

由得,故可取,

从而法向量的夹角的余弦值为,

故所求二面角的正弦值为.

第19题图

20.(本小题满分12分)已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.

(1)确定的值；

(2)若，判断的单调性；

(3)若有极值，求的取值范围.

【测量目标】导函数，函数单调性，函数的极值.

【考查方式】考查函数的求导以及导函数在求单调性和极值的应用，分类讨论思想.

【难易程度】较难.

【试题解析】(Ⅰ)对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以,

又，故.(Ⅱ)当时，，那么,故在上为增函数.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，而，当时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当时，对任意，此时无极值；当时，对任意，此时无极值；当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或.当时，；又当时，从而在处取得极小值.综上，若有极值，则的取值范围为.

21.如图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

第21题图

【测量目标】椭圆，圆，圆的切线.

【考查方式】考查椭圆标准方程的求解，数形相互转化.

【难易程度】较难.

【试题解析】(Ⅰ)设，其中，由得,

从而故.从而，由得，因此.所以，故,因此，所求椭圆的标准方程为：.(Ⅱ)如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，， 

由(Ⅰ)知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径

第21题图 

22.(本小题满分12分)设

(1)若，求及数列的通项公式；

(2)若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.

【测量目标】等差数列，数学归纳法，函数的性质.

【考查方式】将含有数列的等式变形成常见的数列，从而求出通项；考查数学归纳法和函数在证明不等式中的应用.

【难易程度】较难.

【试题解析】(Ⅰ)解法一：,再由题设条件知,从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即.

解法二：,可写为.因此猜想.下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则,这就是说，当时结论成立.所以.(Ⅱ)解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明：,当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即,易知在上为减函数，从而,即,再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则,先证： ①,当时，结论明显成立.假设时结论成立，即,易知在上为减函数，从而,即这就是说，当时结论成立，故①成立.再证： ②,当时，，有，即当时结论②成立.假设时，结论成立，即,由①及在上为减函数，得,

,这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.

由②得,即,因此,又由①、②及在上为减函数得,即,所以解得.综上，由②③④知存在使对一切成立.