北京市昌平区2014-2015学年高三第一学期期末检测数学理科试题

              数学试卷(理科)               2015.1

考生注意事项：

1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．

2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．

3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．

4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

1. 已知集合，，则等于

A.          B.            C.            D. 

2．已知，则下列不等式成立的是

A.       B.          C.          D. 

3. 执行如图所示的程序框图，输出的值是

A． 

B． 

C． 

D． 

    5. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A. 若，，则          B. 若，，则

C. 若，，则           D. 若，，则

 6. 在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是

A.  32人             B. 35人            C.  40人        D. 45 人

7. 在中，角对应的边分别为. 若则“”是“”的

A．充分不必要条件   B. 必要不充分条件   C．充要条件    D.既不充分也不必要条件

8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是

A．甲               B. 乙               C．丙          D.丁

第Ⅱ卷（非选择题  共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

9. 设复数，则          .

10.的展开式中，的系数是          .(用数字作答)

11. 若，满足约束条件则的最大值是          .

12. 平面向量与的夹角为，，，则=          .

13. 已知双曲线的离心率是2，则以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是          .

14. 已知函数，有如下结论：

①，有；②，有；

③，有；

④，有.

其中正确结论的序号是          .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分） 

已知函数．

( I ) 求函数的最小正周期；

(Ⅱ) 当时，求函数的最大值及取得最大值时的值．

16.（本小题满分13分）

从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.

(I) 求的值；

(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；

(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组

剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望.

（注：方差，其中为，，… ,的平均数.）

17. （本小题满分14分）

如图，垂直于梯形所在的平面，.为中点，， 四边形为矩形，线段交于点N .

(I) 求证： // 平面；

(II) 求二面角的大小；

(III)在线段上是否存在一点，使得与

平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;

若不存在，请说明理由.

18. (本小题满分13分）

已知函数f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈)．

( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；

( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C : , 经过点P，离心率是.

(I) 求椭圆C的方程；

(II) 设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．

20. （本小题满分13分）

    已知数列满足，，数列的前n项和为,

，其中.

(I) 求的值；

(II) 证明：数列为等比数列；

(III) 是否存在，使得若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(理科)参

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

9.                  10.   40                        11. 2 

12. 2                    13.；         14.② ③ ④

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分） 

解：（Ⅰ）因为

                        ………… 5分

所以，故的最小正周期为. 　　            ………… 7分

（Ⅱ）因为，  所以．              …………9分

当时，即时，                                 …………11分

所以有最大值.                                   …………13分

16.（本小题满分13分）

解：（I）经计算得：甲班数据依次为，所以中位数为，得；，得．……………4分

（II）乙班整体水平高.

或解：，

，

，

.

因为，所以乙班的水平高.   ……………7分 

   (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，

乙班：15，18，18.

这两班测试成绩的和为，则，

所以，，，，，.

所以的分布列为

 . .……………13分

17. （本小题满分14分）

解：(Ⅰ)连接在中，分别为中点，所以

因为

所以    …………………4分

(Ⅱ)如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系                                                  …………………5分

则

设平面的法向量为则

即解得

令，得所以…………………7分

因为平

所以，

由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为     …………………9分

(Ⅲ) 设存在点Q满足条件.

由设，

整理得，…………………11分

因为直线与平面所成角的大小为，

所以，     …………………13分

则知，即点与E点重合.

故在线段上存在一点，且               …………………14分

18. (本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当时，，定义域是.

，

由，解得；由，解得；

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.  …………………5分

（Ⅱ）（法一）

因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，

则，即在上恒成立. …………………7分

1当时，，所以不成立.                     …………………9分

2当时，，，对称轴.

，即，解得

所以实数a的取值范围是.                           …………………13分

（法二），定义域是.

①当时，在区间上是增函数，所以不成立. …………………8分

②时，

令，即，则，           …………………9分

（i）当时，由，解得，

所以函数的单调递减区间是.

因为函数在区间上是减函数，+所以，解得.    …………………11分

（ii）当时，由，解得，

所以函数的单调递减区间是.

因为函数在区间上是减函数，所以，解得.

综上实数a的取值范围是.                        …………………13分

19.（本小题满分14分）

解：（I）由，解得，

所以椭圆C的方程是.            .…………………5分

（II）方法一

（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意.

(2)不妨设直线的方程为．

由   消去得.     …………………7分

设，，则有……①,………②

   ………………… 8分

因为以为直径的圆过点，所以．

由，得．

将代入上式，

得. ………   ③   ……………………12分

将①②代入③，得，

解得或（舍）．

综上，直线经过定点…………………14分

方法二

证明：

(1) 当不存在时，易得此直线恒过点.                  …………………7分

（2）当存在时.设直线，，.

由，可得.

……①

  ……. ②                      …………………9分

由题意可知

,

      可得.                             …………………10分 

整理得③

 把①②代入③整理得  

      由题意可知  

      解得

      （i） 当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分

      （ii），即，直线过定点，经检验符合题意.

       综上所述，直线过定点                      .…………………14分

20. （本小题满分13分）

    解：(I) 因为，所以.

（或者根据已知，可得. ）                    ……………3分    

 (II) 证明：,

，故数列是首项为1，公比为－2的等比数列.              ……………7分

(III)由 (II) 知，

所以.

设，

又

.

则由，得，

设，

则，

，所以在上单调递增，

，即，所以在上单调递增

又因为，

所以仅存在唯一的，使得成立．……………13分