岳阳县一中2013届高三第二次阶段考试试题(理)

数学试卷(理科)

时  量:120分钟  分  值:150分

命  题:易正红    审 题: 彭小霞

一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集,,则（    ）

A．          B．         C．         D．

2. 命题“”的否定是 (    )

A．                        B．

C．                         D．

3. 函数的图象关于       对称. (    )

A. 坐标原点             B. 直线      

C. 轴                  D. 轴

4. 设,向量,且,则（　　）

A．    B．    C．    D．

5. （    ）

A．             B．0              C．            D．1 

6. 在中角、、所对的边分别是.若,,则（　　）

A．    B．    C．    D．

7. 下列函数中最小正周期是且图象关于点成中心对称的一个函数是（    ）

A．   B．    C．        D． 

8. 若函数,则下列关于函数的零点个数判断正确的是 (    )

    A．当时,有4个零点;当时,有1个零点

    B．当时,有3个零点;当时,有2个零点       

C．无论为何值,均有2个零点         

D．无论为何值,均有4个零点

二. 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填写在题中横线上.

9. 函数的定义域是                   .

10. 如图1,若,且,则向量的夹角的

大小为           .

11. 已知直线与曲线(其中为自然数2.71828…)

相切于点,则的点坐标为        .

12. 如图2,是函数(其中

的部分图像,则其解析为            .

13. 已知为内一点,为中点,且,

则      .

14. 已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为         .

15. 若函数满足:①都有②则

(1)         ;

(2)方程的解的最小值为          .

三. 解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

已知命题,且,命题,且.

(Ⅰ)若,求实数的值;

(Ⅱ)若是的充分条件,求实数的取值范围.

17. (本小题满分12分) 

已知函数,.

(Ⅰ)求函数的值域;

(Ⅱ)求函数的单调递增区间.

18. (本小题满分12分) 

已知．

(Ⅰ)当时,求函数的极大值;

(Ⅱ)若对不等式恒成立,求实数的取值范围．

19. (本小题满分12分)

在中角的对边分别为,且.

(Ⅰ)求边的长;

(Ⅱ)若,求的面积．

20. (本小题满分13分）

    某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人数为名.

(Ⅰ)设完成型零件加工所需的时间分别为小时,写出与的解析式;

(Ⅱ)当取何值时,完成全部生产任务的时间最短?

21.(本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ)求函数在上的最大值;

(Ⅱ)如果函数的图象与轴交于两点,且是函数的导函数.若正常数满足.求证:.

参

一、选择题 A D D B    C B C A;

二、填空题  9.  10. 11. (0,1)  12. 13.  -2   

14. 15.(1)  70  (2) 163  

三、解答题

16.【解】(Ⅰ)由题知,依题意得,得;…………………………6分

(Ⅱ)因为是的充分条件,所以,且,所以结合数轴可知,

即或,解得,或………………………………………………………12分

17.【解】(Ⅰ) 

………………………………………………3分

由于,则,故,

也所以

即函数的值域为…………………………………………………………………6分

 (Ⅱ)令,………………………………………………………8分

解得,……………………………………………………………10分

所以的递增区间为. ………………………………………12分

注: 亦为正确答案.

18.【解】（Ⅰ）当时,

所以    ……………………………………………………2分

令,得,

且当时,,当时,,…………………………………5分

所以当时有极大值,即为所求.…………………………………………6分

  （Ⅱ）因为不等式恒成立.

即不等式恒成立………………………………………………8分

即不等式恒成立.

又因为时,不等式不恒成立.……………………………………………9分

所以只能是时,不等式恒成立.………………………10分

即,解得为所求的取值范围.…………………………………12分

19.【解】（Ⅰ）由可得,,

    又由余弦定理有,…………………………………………………………2分

代入上式得

又时,有,

所以;………………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由平方得,, …………………………………8分

即,

由(Ⅰ)知,所以,……………………………………………………………………10分

也所以,是边长为2的正三角形,

所以………………………………………………………………………12分

20.【解】(Ⅰ)生产150件产品,需加A、B型零件分别为450、150个;

    所以………………………………………………………3分

    .…………………………………………………5分

(Ⅱ)设完成全部生产任务所需时间为,则为与的较大者.

    令,即,解得.

    所以………………………………………………………7分

①当时,单调递减,所以当时,(小时);…………………9分

②当时,易知单调递增,所以当时,(小时);……11分

由于,所以在上的最小值为;

故为了最短时间内完成全部生产任务,应取32.………………………………………………13分

21.【解】(Ⅰ)由得到:.

所以得到;

又因为,

且,;

所以知函数在上的最大值为………………………………………5分

(Ⅱ)证明:由于,所以;

又有两个不等的实根,则,两式相减得到

……………………………………………………………………7分

于是

                ……………………8分

又易知,且已知,所以

于是要证,只需证……………………9分

也即证

又因为,所以只需证

不妨令,即证对恒成立.………………………11分

令,则其导函数为

………………………………12分

其分子是关于的二次函数,且,

所以其图像在单调递增,故,

显然也有,即时,函数单调递减,

所以,即证,

所以原不等式即证.…………………………………………………………14分