2020—2021年济南市槐荫区初二上期中数学试卷含答案解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．化简的结果是（　　）

A．2    B．±2    C．    D．±

2．下列语句中正确的是（　　）

A．﹣9的平方根是﹣3    B．9的平方根是3

C．9的算术平方根是±3    D．3是9的平方根

3．下列个组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5    B．32，42，52    C．6，8，10    D．9，40，41

4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）

A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2    B．x2﹣4+2x=（x+2）（x﹣2）+2x

C．2a（b+c）=2ab+2ac    D．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）

5．下列运算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣2），则b，c的值为（　　）

A．b=1，c=﹣6    B．b=﹣6，c=1    C．b=﹣1，c=6    D．b=6，c=﹣1

7．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，则下列说法正确的是（　　）

A．乙同学的成绩更稳固

B．甲同学的成绩更稳固

C．甲、乙两位同学的成绩一样稳固

D．不能确定

8．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．1.2，1.3    B．1.4，1.3    C．1.4，1.35    D．1.3，1.3

9．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．4    B．    C．2    D．3

10．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，那个三角形是（　　）

A．等腰三角形    B．直角三角形

C．等边三角形    D．三角形的形状不确定

11．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C的度数为（　　）

A．135°    B．120°    C．90°    D．105°

12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律连续下去，则S2020的值为（　　）

A．（）2020    B．（）2020    C．（）2020    D．（）2020

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

13．如图中的三角形为直角三角形，字母A所在的正方形的面积是　　．

14．1的相反数是　　．

15．因式分解：xy﹣x=　　．

16．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点动身沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　　．（结果保留根号）

17．如图，把一块等腰直角三角形零件ABC（∠ACB=90°）如图放置在一凹槽内，顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，则该零件的面积为　　．

18．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有　　．（请将正确答案的序号填在横线上）

①∠EAF=45°   

②EA平分∠CEF  

③BE2+DC2=DE2

④BE=DC．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（24分）（1）运算：﹣

（2）运算：÷×

（3）运算：﹣3                

（4）因式分解：m3n﹣9mn．

（5）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）     

（6）因式分解：25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1．

20．（8分）如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．

（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．

（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．

21．（8分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．

（1）求PQ、PR的长．

（2）假如明白“远航”号沿东北方向航行，能明白“海天”号沿哪个方向航行？什么缘故？

22．（8分）如图所示，把一副直角三角板摆放在一起，∠ACB=30°，∠BCD=45°，∠ABC=∠BDC=90°，量得CD=20cm，试求BC、AC的长．

23．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长差不多上1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；

（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

24．（9分）如表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，依照表格提供的信息回答下面的问题 

（2）李刚同学6次成绩的中位数是　　．

（3）李刚同学平常成绩的平均数是　　．

（4）利用如图的权重运算一下李刚本学期的综合成绩（平常成绩用四次成绩的平均数写出解题过程，每次考试满分差不多上100分）．

25．（12分）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A动身，沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，设点P的运动时刻为t（s），那么t=　　（s）时，△PBC是直角三角形；

（2）如图2，若另一动点Q从点B动身，沿线段BC向点C运动，假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．设运动时刻为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．设运动时刻为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

（4）如图4，若另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

2021-2021学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．化简的结果是（　　）

A．2    B．±2    C．    D．±

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】结合二次根式的性质进行求解即可．

【解答】解： =2．

故选A．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练把握二次根式的性质及二次根式的化简．

2．下列语句中正确的是（　　）

A．﹣9的平方根是﹣3    B．9的平方根是3

C．9的算术平方根是±3    D．3是9的平方根

【考点】算术平方根；平方根．

【分析】利用算术平方根及平方根的定义判定即可．

【解答】解：A、9的平方根是±3，错误；

B、9的平方根是±3，错误；

C、9的算术平方根是3，错误；

D、3是9的平方根，正确，

故选D

【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练把握各自的定义是解本题的关键．

3．下列个组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5    B．32，42，52    C．6，8，10    D．9，40，41

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】判定是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

【解答】解：解：A、0.32+0.42=0.52，能组成直角三角形，不符合题意；

B、（32）2+（42）≠（52）2，不能组成直角三角形，符合题意；

C、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意；

D、92+402=412，能组成直角三角形，不符合题意．

故选：B

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判定三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判定即可．

4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）

A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2    B．x2﹣4+2x=（x+2）（x﹣2）+2x

C．2a（b+c）=2ab+2ac    D．m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）

【考点】因式分解的意义．

【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把那个多项式因式分解，结合选项进行判定即可．

【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；

B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；

C、是整式的乘法，故C错误；

D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．

5．下列运算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】立方根．

【分析】A、B、C、D都能够直截了当依照立方根的定义求解即可判定．

【解答】解：A、0.53=0.125，故选项错误；

B、应取负号，故选项错误；

C、∵等于，∴的立方根等于，故选项正确；

D、应取正号，故选项错误．

故选C

【点评】此题要紧考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的那个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求那个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

6．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣2），则b，c的值为（　　）

A．b=1，c=﹣6    B．b=﹣6，c=1    C．b=﹣1，c=6    D．b=6，c=﹣1

【考点】因式分解-十字相乘法等．

【分析】因式分解结果利用多项式乘以多项式法则运算，再利用多项式相等的条件求出b与c的值即可．

【解答】解：依照题意得：x2+bx+c=（x+3）（x﹣2）=x2+x﹣6，

则b=1，c=﹣6，

故选A

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练把握十字相乘的方法是解本题的关键．

7．本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，则下列说法正确的是（　　）

A．乙同学的成绩更稳固

B．甲同学的成绩更稳固

C．甲、乙两位同学的成绩一样稳固

D．不能确定

【考点】方差；算术平均数．

【分析】依照方差的定义，方差越小数据越稳固．

【解答】解：因为S甲2=1.2＞S乙2=0.5，方差小的为乙，因此本题中成绩比较稳固的是乙．

故选：A．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳固；反之，方差越小，说明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳固．

8．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．1.2，1.3    B．1.4，1.3    C．1.4，1.35    D．1.3，1.3

【考点】众数；条形统计图；中位数．

【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，因此只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；关于众数可由条形统计图中显现频数最大或条形最高的数据写出．

【解答】解：由条形统计图中显现频数最大条形最高的数据是在第四组，7环，故众数是1.4（万步）；

因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数差不多上1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．

故选B．

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，假如中位数的概念把握得不行，不把数据按要求重新排列，就会出错．

9．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．4    B．    C．2    D．3

【考点】等边三角形的性质．

【分析】依照等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，依照勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．

【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，

∴BD=CD=1，

在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，

∴AD=，

∴S△ABC=BC•AD=×2×=，

故选B．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．

10．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，那个三角形是（　　）

A．等腰三角形    B．直角三角形

C．等边三角形    D．三角形的形状不确定

【考点】因式分解的应用．

【分析】第一将原式变形为a2（b﹣c）﹣b2（b﹣c）﹣c2（b﹣c）=0，就有（b﹣c）（a2﹣b2﹣c2）=0，能够得到b﹣c=0或a2﹣b2﹣c2=0，进而得到，b=c或a2=b2+c2．从而得出△ABC的形状．

【解答】解：∵a2b﹣a2c+b2c﹣b3=0，

∴a2（b﹣c）﹣b2（c﹣b）﹣c2=0，

∴（b﹣c）（a2+b2）=0，

∴b﹣c=0或a2+b2=0（舍去），

∴△ABC是等腰三角形．

故选A．

【点评】本题考查因式分解提公因式法在实际问题中的运用，等腰三角形的判定和直角三角形的判定．

11．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C的度数为（　　）

A．135°    B．120°    C．90°    D．105°

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】连接EE′，如图，依照旋转的性质得BE=BE′=2，AE=CE′=1，∠EBE′=90°，则可判定△BEE′为等腰直角三角形，依照等腰直角三角形的性质得EE′=BE=2，∠BE′E=45°，在△CEE′中，由于CE′2+EE′2=CE2，依照勾股定理的逆定理得到△CEE′为直角三角形，即∠EE′C=90°，然后利用∠BE′C=∠BE′E+∠CE′E求解．

【解答】解：连接EE′，如图，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE′，

∴BE=BE′=2，AE=CE′=1，∠EBE′=90°，

∴△BEE′为等腰直角三角形，

∴EE′=BE=2，∠BE′E=45°，

在△CEE′中，CE=3，CE′=1，EE′=2，

∵12+（2）2=32，

∴CE′2+EE′2=CE2，

∴△CEE′为直角三角形，

∴∠EE′C=90°，

∴∠BE′C=∠BE′E+∠CE′E=135°．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．

12．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律连续下去，则S2020的值为（　　）

A．（）2020    B．（）2020    C．（）2020    D．（）2020

【考点】等腰直角三角形；正方形的性质．

【分析】依照题意可知第2个正方形的边长是，则第3个正方形的边长是，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是，那么易求S2020的值．

【解答】解：依照题意：第一个正方形的边长为2；

第二个正方形的边长为：；

第三个正方形的边长为：，

…

第n个正方形的边长是，

因此S2020的值是（）2020，

故选C

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长．

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

13．如图中的三角形为直角三角形，字母A所在的正方形的面积是　16　．

【考点】勾股定理．

【分析】依照正方形的面积公式和勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．

【解答】解：依照勾股定理，可知A=25﹣9=16．

故答案为：16．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积是解答此题的关键．

14．1的相反数是　　．

【考点】实数的性质．

【分析】假如两数互为相反数，那么它们和为0，由此即可求出1﹣的相反数．

【解答】解：1﹣的相反数是﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查的是相反数的概念：两数互为相反数，它们和为0．

15．因式分解：xy﹣x=　x（y﹣1）　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直截了当提公因式法x，整理即可．

【解答】解：xy﹣x=x（y﹣1）．

故答案为：x（y﹣1）．

【点评】本题考查学生提取公因式的能力，解题时要第一确定公因式．

16．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点动身沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是　　．（结果保留根号）

【考点】平面展开-最短路径问题．

【分析】先将图形展开，再依照两点之间线段最短，由勾股定理可得出．

【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．

∵AB=π•=2，CB=2．

∴AC=．

故答案为：

【点评】此题要紧考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题确实是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定明白得决．

17．如图，把一块等腰直角三角形零件ABC（∠ACB=90°）如图放置在一凹槽内，顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，则该零件的面积为　37cm2　．

【考点】全等三角形的应用；等腰直角三角形．

【分析】第一证明△ADC≌△CEB，依照全等三角形的性质可得DC=BE=7cm，再利用勾股定理运算出AC长，然后利用三角形的面积公式运算出该零件的面积即可．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴DC=BE=7cm，

∴AC===（cm），

∴BC=cm，

∴该零件的面积为：××=37（cm2）．

故答案为：37cm2．

【点评】此题要紧考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是把握全等三角形的判定方法．

18．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论中正确的有　①②③　．（请将正确答案的序号填在横线上）

①∠EAF=45°   

②EA平分∠CEF  

③BE2+DC2=DE2

④BE=DC．

【考点】旋转的性质；勾股定理．

【分析】依照等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，依照旋转得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判定①，证△EAF≌△EAD，即可判定②，求出BF=DC，∠FBE=90°，依照勾股定理即可判定③，依照已知判定④即可．

【解答】解：正确的有①②③，

理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=45°，

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，

∴△AFB≌△ADC，

∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAE+∠DAC=45°，

∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；

即∠FAE=∠DAE=45°，

在△FAE和△DAE中

∴△FAE≌△DAE（SAS），

∴∠FEA=∠DEA，

即EA平分∠CEF，∴②正确；

∴EF=DE，

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，

∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，

∵∠ABC=45°，

∴∠FBE=45°+45°=90°，

在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，

∵BF=DC，EF=DE，

∴BE2+DC2=DE2，∴③正确；

不能推出BE=DC，∴④错误；

故答案为：①②③．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（24分）（2021秋•槐荫区期中）（1）运算：﹣

（2）运算：÷×

（3）运算：﹣3                

（4）因式分解：m3n﹣9mn．

（5）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）     

（6）因式分解：25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1．

【考点】二次根式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用二次根式的乘除法则运算；

（3）利用二次根式的除法法则运算；

（4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解；

（5）先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式因式分解；

（6）利用完全平方公式进行因式分解．

【解答】解：（1）原式=3﹣

=；

（2）原式=

=10；

（3）原式=+﹣3

=3+1﹣3

=1；

（4）原式=mn（m2﹣9）

=mn（m+3）（m﹣3）；

（5）原式=a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）

=（x﹣y）（a2﹣4b2）

=（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）；

（6）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1．

=[5（x﹣y）﹣1]2

=（5x﹣5y﹣1）2．

【点评】本题考查了二次根式的运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了因式分解．

20．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．

（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．

（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】（1）已知直角三角形的斜边和一条直角边，能够运用勾股定理运算另一条直角边；

（2）在直角三角形OCD中，已知斜边仍旧是5，OC=4﹣1=3，再依照勾股定理求得OD的长即可．

【解答】解：（1）AO==4米；

（2）OD==4米，BD=OD﹣OB=4﹣3=1米．

【点评】能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．

21．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．

（1）求PQ、PR的长．

（2）假如明白“远航”号沿东北方向航行，能明白“海天”号沿哪个方向航行？什么缘故？

【考点】勾股定理的应用．

【分析】（1）依照路程=速度×时刻运算即可．

（2）利用勾股定理的逆定理证明∠QPR=90°即可．

【解答】解：依照题意，得

（1）PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），

（2）∵PQ2+PR2=242+182=900，QR2=900

∴PQ2+PR2=QR2，

∴∠QPR=90°．         

由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．

【点评】本题考查路程、速度、时刻之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是明白得题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22．如图所示，把一副直角三角板摆放在一起，∠ACB=30°，∠BCD=45°，∠ABC=∠BDC=90°，量得CD=20cm，试求BC、AC的长．

【考点】勾股定理．

【分析】在直角△BCD中，利用勾股定理求得BC的长度；然后在直角△ABC中由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”和勾股定理来求AB的长度，则AC=2AB．

【解答】解：∵BD=CD=20，

∴BC===20（cm）        

设AB=x，在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，则AC=2x．

∵由勾股定理得 AB2+BC2=AC2，

∴x2+（20）2=（2x）2，

得x2=，又x＞0，

∴x=，

即AC=2AB=．

【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长差不多上1，每个小格的顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；

（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

【考点】勾股定理．

【分析】（1）依照勾股定理画出边长为的正方形即可；

（2）依照勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；

（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．

【解答】

解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；

（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；

（3）如图3，连接AC，CD，

则AD=BD=CD==，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC=BC==，

∴∠ABC=∠BAC=45°．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，要紧考查学生的运算能力和动手操作能力．

24．如表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，依照表格提供的信息回答下面的问题 

（2）李刚同学6次成绩的中位数是　90分　．

（3）李刚同学平常成绩的平均数是　分　．

（4）利用如图的权重运算一下李刚本学期的综合成绩（平常成绩用四次成绩的平均数写出解题过程，每次考试满分差不多上100分）．

【考点】扇形统计图；加权平均数；中位数；极差．

【分析】（1）用最大值减去最小值即可求得极差；

（2）排序后位于中间位置的数是中位数；

（3）用算术平均数的公式直截了当运算即可；

（4）用加权平均数的运算公式直截了当运算即可．

【解答】解：（1）极差为：96﹣86=10分；

（2）中位数为（90+90）÷2=90分；

（3）平均数是（86+86+90+92+90+96）÷6=90分；

（4）综合成绩为96×60%+90×30%+×10%=93.5．

【点评】本题考查了扇形统计图及有关统计量的运算，难度较小，关键是运算要认真认真．

25．（12分）（2020春•张家港市期末）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A动身，沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，设点P的运动时刻为t（s），那么t=　　（s）时，△PBC是直角三角形；

（2）如图2，若另一动点Q从点B动身，沿线段BC向点C运动，假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．设运动时刻为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．设运动时刻为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

（4）如图4，若另一动点Q从点C动身，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时动身．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定．

【分析】（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，因此BP=1.5cm，即可算出t的值；

（2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后依照勾股定理运算出BP长，即可算出t的大小；

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可依照题意求出t的值；

（4）面积相等．可通过同底等高验证．

【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，

∠BPC=90°，因此BP=1.5cm，

因此t=（2分）

（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，

3﹣t=0.5t，因此t=2；

当∠BQP=90°时，BP=2BQ，

3﹣t=2t，因此t=1；

因此t=1或2（s）

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，

因此∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

又因为∠A=60°，

因此AD=2AP，2t+t=3，

解得t=1（s）；（2分）

（4）相等，如图所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，

因此，∠G=∠AEP，

因为，

因此△EAP≌△GCQ（AAS），

因此PE=QG，因此，△PCD和△QCD同底等高，因此面积相等．

【点评】本题要紧考查关于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．