初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题09 含绝对值符号的一次方程

阅读与思考

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：

1．形如的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：或．

2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．

例题与求解

【例1】 方程的解是__________．

（四川省竞赛试题）

解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．

【例2】 方程的整数解有（     ）．

A．2个                B．3个            C．5个            D．无穷多个

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．

【例3】 已知：有理数、、满足，．并且，，．求的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：本题关键在于确定、、的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．

【例4】 解下列方程：

（1）；

（天津市竞赛试题）

（2）；

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

（3）．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．

【例5】 已知，求的最大值与最小值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：已知等式可化为：，再根据绝对值的几何意义来探求、的取值范围，进而可得的最大值与最小值．

【例6】 当时，试判定关于的方程的解的情况．

（上海市竞赛试题）

解题思路：由于，且，就有，进而计算．

能力训练

A级

1．方程的解是_______________．

（重庆市竞赛试题）

2．方程的解是_______________，方程的解是_______________．

3．已知，那么__________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

4．巳知，那么的值为__________．

（“希望杯”邀请赛试题）

5．若方程的解分别是、，则__________．

（“希望杯”邀请赛试题）

6．满足（）的有理数和，一定不满足的关系是（     ）．

    A．            B．            C．            D． 

7．有理数、满足，则（     ）．

   A．            B．            C．            D． 

8．若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系是（     ）．

    A．        B．        C．        D． 

（“希望杯”邀请赛试题）

9．方程的解的个数为（     ）．

    A．不确定            B．无数个            C．2个            D．3个

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10．若关于的方程有三个整数解，则的值是（     ）．

    A．0            B．2            C．1            D．3

（全国初中数赛试题）

11．解下列方程：

（1）；     （2）；       （3）；

（五城市联赛试题）

（4）．

（全国通讯赛试题）

12．求关于的方程（）的所有解的和．

（陕西省竞赛试题）

B级

1．关于的方程的解是，则的值是__________；关于的方程的解是，则有理数的取值范围是__________．

2．若，则满足条件的整数的值共有__________个，它们的和是__________．

（“希望杯”邀请赛试题）

3．若，，则使成立的的取值范围是__________．

（武汉市选拔赛试题）

4．已知且，那么__________．

5．若有理数满足方程，那么化简的结果是（     ）．

A．1            B．            C．            D． 

6．适合关系式的整数的值有（     ）．

A．0            B．1            C．2            D．大于2的自然数

7．如果关于的方程有实根．那么实数的取值范围是（     ）．

A．            B．            C．            D． 

（武汉市竞赛试题）

8．巳知方程有一个负根，而没有正根，那么的取值范围是（     ）．

A．            B．            C．            D． 

（全国初中数赛试题）

9．设、为有理数，且方程有三个不相等的解，求的值．

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

10．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多解？无解？

（江苏省竞赛试题）

11．    用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数、（，），有，已知，求的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）